我們都知道，當一個電流通過一個導體時，如果有一個垂直于電流方向的磁場，那么導體的兩側(cè)會產(chǎn)生一個電壓差，這就是霍爾效應(yīng)。霍爾效應(yīng)的原理是，磁場會對運動的電子施加一個洛倫茲力，使電子偏離原來的軌道，從而在導體的兩側(cè)形成一個電勢差。霍爾效應(yīng)的大小可以用霍爾電阻來衡量，它等于電勢差除以電流強度。

霍爾效應(yīng)在普通的導體中是線性的，即霍爾電阻和磁場強度成正比。但是，在一些特殊的材料中，當磁場很強時，霍爾效應(yīng)會出現(xiàn)非線性的行為，霍爾電阻不再隨著磁場的增加而連續(xù)變化，而是跳躍到一些固定的值，這就是量子霍爾效應(yīng)。

量子霍爾效應(yīng)的原理是，強磁場會使電子的能級分裂為一系列的分立的能級，稱為朗道能級。當電子填充朗道能級時，如果恰好填滿了整數(shù)個能級，那么霍爾電阻就會出現(xiàn)一個平臺，其值等于普朗克常數(shù)除以電子電荷的平方的整數(shù)倍，這就是整數(shù)量子霍爾效應(yīng)。

如果沒有填滿整數(shù)個能級，那么霍爾電阻就會隨著磁場的變化而變化，直到遇到下一個平臺，這就是分數(shù)量子霍爾效應(yīng)。這個效應(yīng)是在1980年代由Tsui，Stormer和Gossard在半導體異質(zhì)結(jié)中發(fā)現(xiàn)的，他們因此獲得了1998年的諾貝爾物理學獎。他們觀察到，在極低的溫度和極強的磁場下，霍爾電阻不僅在整數(shù)倍的位置出現(xiàn)了平臺，還在分數(shù)倍的位置出現(xiàn)了平臺。

這個現(xiàn)象是非常令人驚訝的，因為它意味著電子之間的相互作用在這里起了決定性的作用。根據(jù)Laughlin的理論，分數(shù)量子霍爾效應(yīng)可以被理解為一種新的量子液體的形成，這種量子液體由復合費米子組成，復合費米子是由一個電子和它周圍的磁通量捆綁而成的。這些復合費米子可以形成分數(shù)統(tǒng)計的準粒子，也就是任意子，它們的電荷是e的分數(shù)倍，例如e/3，e/5，e/7等。這些任意子在朗道能級上形成了一個有效的整數(shù)量子霍爾效應(yīng)，從而導致了分數(shù)量子霍爾效應(yīng)。

分數(shù)量子霍爾效應(yīng)是一個非常深刻和美麗的物理現(xiàn)象，它展示了量子力學和統(tǒng)計力學的奇妙結(jié)合，以及物質(zhì)的多樣性和豐富性。然而，它的實驗觀察是非常困難的，因為它需要非常低的溫度和非常強的磁場，以及非常純凈和高質(zhì)量的材料。這就限制了它的研究和應(yīng)用的范圍。那么，有沒有可能在零磁場下觀察到分數(shù)量子霍爾效應(yīng)呢？

這就引出了另一個概念，叫做反常霍爾效應(yīng)。反常霍爾效應(yīng)是指在零磁場下，某些材料也會表現(xiàn)出量子化的霍爾電阻，這是由于它們的拓撲性質(zhì)，也就是它們的能帶結(jié)構(gòu)中存在著非零的陳數(shù)。陳數(shù)是一個拓撲不變量，它描述了能帶中的波函數(shù)的相位變化，它和磁場中的磁通量有類似的作用。當一個材料具有非零的陳數(shù)時，它就會產(chǎn)生一個有效的磁場，從而導致了反常霍爾效應(yīng)。

反常霍爾效應(yīng)的一個典型的例子是石墨烯，它是一種由單層碳原子構(gòu)成的二維材料，它的能帶在兩個狄拉克點處是線性的，這使得它具有非零的陳數(shù)，從而在零磁場下表現(xiàn)出反常霍爾效應(yīng)。那么，在反常霍爾效應(yīng)的基礎(chǔ)上，有沒有可能出現(xiàn)分數(shù)量子反常霍爾效應(yīng)呢？這是一個長期以來的理論預言，但是一直沒有實驗的證實。直到最近，一些科學家在多層石墨烯中觀察到了這個效應(yīng)。

多層石墨烯具有許多獨特的物理性質(zhì)，比如高的電子遷移率，強的機械強度，和可調(diào)的能帶結(jié)構(gòu)。多層石墨烯的能帶結(jié)構(gòu)可以通過改變層數(shù)，堆疊方式，扭轉(zhuǎn)角度，和外加電場來調(diào)節(jié)，從而實現(xiàn)不同的電子態(tài)，比如金屬態(tài)，半導體態(tài)，拓撲絕緣體態(tài)，和超導態(tài)。

多層石墨烯的拓撲絕緣體態(tài)是一種具有非零陳數(shù)的能帶結(jié)構(gòu)，它可以在沒有外加磁場的情況下產(chǎn)生反常量子霍爾效應(yīng)。多層石墨烯的拓撲絕緣體態(tài)的來源是層間的自旋軌道耦合，它可以使不同層的電子的自旋和軌道相互作用，從而產(chǎn)生一個有效的磁場。多層石墨烯的層間自旋軌道耦合的強度可以通過改變層數(shù)和扭轉(zhuǎn)角度來調(diào)節(jié)，從而實現(xiàn)不同的陳數(shù)和反常量子霍爾效應(yīng)平臺。

多層石墨烯中的分數(shù)反常量子霍爾效應(yīng)是一種更加復雜和有趣的現(xiàn)象，它可以在零磁場下產(chǎn)生分數(shù)化的霍爾電阻和分數(shù)化的電荷激發(fā)。多層石墨烯中的分數(shù)反常量子霍爾效應(yīng)的來源是層間的電子相互作用，它可以使拓撲絕緣體態(tài)的能帶進一步分裂為一些分數(shù)占據(jù)的能級，稱為分數(shù)拓撲能級。

多層石墨烯中的分數(shù)拓撲能級的存在可以通過一種稱為拓撲平帶模型的理論來解釋，它可以把多層石墨烯的能帶結(jié)構(gòu)簡化為一些具有非零陳數(shù)的平坦能帶，這些平坦能帶可以容納分數(shù)朗道能級和分數(shù)化的電子相互作用，從而導致分數(shù)反常量子霍爾效應(yīng)。多層石墨烯中的分數(shù)拓撲能級的存在可以通過一種稱為拓撲譜函數(shù)的實驗手段來觀測，它可以測量多層石墨烯的能帶結(jié)構(gòu)和陳數(shù)的變化，從而證實分數(shù)反常量子霍爾效應(yīng)的出現(xiàn)。