三體問題是一個歷史悠久而富有挑戰(zhàn)性的物理問題，它既有理論上的重要性，也有實際上的應(yīng)用價值。例如，在天文學中，我們可以用三體模型來描述太陽系中的一些現(xiàn)象。在原子物理學中，我們可以用三體模型來分析氫原子或其他簡單分子的結(jié)構(gòu)和能級。在化學和生物學中，我們可以用三體模型來研究分子間的相互作用和反應(yīng)動力學。

三體問題最簡單的情況是自由落體問題，即假設(shè)三個質(zhì)點只受到彼此之間的萬有引力，并且沒有其他外力作用。這個問題雖然看起來很簡單，但是卻沒有一般的解析解。只有在一些特殊情況下，我們才能找到一些精確或近似的解。例如，在兩個質(zhì)點遠大于第三個質(zhì)點時，我們可以用攝動理論來求解；在兩個質(zhì)點相等時，我們可以用拉格朗日或雅可比坐標系來簡化問題；在三個質(zhì)點都相等時，我們可以用中心坐標系來對稱化問題。(www.ws46.coM)

在這些特殊情況下，我們最感興趣的是周期性無碰撞軌道，即滿足以下條件的軌道。周期性：經(jīng)過一個固定的時間周期T后，三個質(zhì)點回到初始位置（或者相差一個剛體旋轉(zhuǎn)）；無碰撞：在一個周期內(nèi)，任何兩個質(zhì)點之間的距離都不為零，即沒有發(fā)生碰撞。

周期性無碰撞軌道是三體系統(tǒng)的一種穩(wěn)定狀態(tài)，它可以反映系統(tǒng)的一些基本性質(zhì)，如能量、角動量和形狀。周期性無碰撞軌道也可以作為三體系統(tǒng)的一個基本構(gòu)件，用來構(gòu)造更復(fù)雜的軌道，如混沌軌道或擬周期軌道。

三體無碰撞等質(zhì)量自由落體問題的歷史可以追溯到19世紀末，當時莫爾發(fā)現(xiàn)了一個著名的八字形軌道，它是一個平面對稱的軌道。這個軌道的特點是三個質(zhì)點在同一條直線上運動，然后分別繞著兩個對稱的焦點旋轉(zhuǎn)半個周期，再回到同一條直線上。這個軌道的物理周期是T=2π√2/Gm，其中m是三個相同質(zhì)點的質(zhì)量。

這個軌道在當時引起了很大的興趣，因為它是第一個被發(fā)現(xiàn)的非圓形的周期性無碰撞軌道。然而，這個軌道也有一個缺點，就是它非常不穩(wěn)定，即任何微小的擾動都會導致它偏離原來的形狀。因此，這個軌道在實際中很難觀察到。

在接下來的一個多世紀里，人們對三體無碰撞等質(zhì)量自由落體問題進行了各種各樣的研究，但是只有少數(shù)幾個新的周期性無碰撞軌道被發(fā)現(xiàn)。其中最有名的是2000年由切爾諾夫斯基和蒙哥馬利發(fā)現(xiàn)的另一個八字形軌道，它是一個空間對稱的軌道。這個軌道的特點是三個質(zhì)點在同一條直線上運動，然后分別繞著兩個對稱的焦點旋轉(zhuǎn)一個完整的周期，再回到同一條直線上。

這個軌道比莫爾發(fā)現(xiàn)的八字形軌道更加穩(wěn)定，但是仍然不夠穩(wěn)定，在實際中也很難觀察到。除了這兩個八字形軌道之外，還有兩個平面對稱的周期性無碰撞軌道被發(fā)現(xiàn)，它們分別被稱為蝴蝶形軌道和月牙形軌道。這兩個軌道都有三個對稱性質(zhì)：平移、旋轉(zhuǎn)和反射。

最近的一項新研究，對三體自由落體問題中的無碰撞周期軌道進行了重新搜索和發(fā)現(xiàn)。研究人員只考慮了等質(zhì)量的情況，因為這是最簡單和最具有對稱性的情況。他們使用了一種改進的數(shù)值方法，結(jié)合了牛頓迭代法和多項式插值法，來求解三體系統(tǒng)的運動方程，并且使用了一種基于哈希表和相似度度量的方法，來去除重復(fù)和相似的軌道。他們還使用了一種基于雅可比常數(shù)和角動量方向的方法，來判斷軌道是否是自對偶的。

結(jié)果是驚人的：他們找到了 24,582 個無碰撞周期軌道的初始條件，對應(yīng)于12,409 個不同的軌道解，其中236個是自對偶的。他們發(fā)現(xiàn)，找到的大部分軌道都是非平面的，并且具有復(fù)雜而美麗的形狀。其中有一些是已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)過的，比如莫爾頓八字形軌道，赫羅尼穆斯四葉草形軌道等；但是也有很多是全新發(fā)現(xiàn)的，比如雙心形軌道，雙蝴蝶形軌道等。

他們還發(fā)現(xiàn)了一些非常特殊的軌道，它們具有一些非常有趣的性質(zhì)。比如，有一個自對偶的平面軌道，它由三個相同的橢圓組成，每個橢圓都是由兩個質(zhì)點交替運動的軌跡。這個軌道可以通過一個旋轉(zhuǎn)變換變成自己，也可以通過一個鏡像變換變成自己。