幾何平均數(shù)（Geometric Mean）是數(shù)學(xué)中的一種重要概念，是指若干個正實數(shù)的積的 n 次方根，其中n是這些數(shù)的個數(shù)。幾何平均數(shù)是對數(shù)據(jù)集的一種度量，能夠反映數(shù)據(jù)集存在的平均變化率，常用于統(tǒng)計分析、金融投資等領(lǐng)域。本文將詳細(xì)探討幾何平均數(shù)的定義、計算方法以及其在實際應(yīng)用中的運(yùn)用。

一、幾何平均數(shù)的定義

幾何平均數(shù)是一組正數(shù)的 n 個乘積每一個數(shù)的n次方根。其定義式如下：

設(shè)有n個正數(shù)a1、a2、.....、an，則這n個正實數(shù)的幾何平均數(shù)G等于：

G=(a1*a2*.....an)^1/n

將指數(shù)n常用于描述數(shù)據(jù)集的變化程度。舉例來說，當(dāng)n=2時，幾何平均數(shù)成為一個數(shù)對的諧均值。當(dāng)n=3時，則是三個數(shù)的立方根。

幾何平均數(shù)可以用來評估一組數(shù)據(jù)的典型變化率。乘性增長或減少甚至可以通過視覺展現(xiàn)成為加性增長或減少。通過對稱性的展開，幾何平均數(shù)也可以定義為以下形式：

G=（a/1）x（b/a）x（c/b）......（n-1）/（n-2)

這種形式也可以證明幾何平均數(shù)與其它平均數(shù)之間的關(guān)系，例如算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)。

二、幾何平均數(shù)的計算方法

幾何平均數(shù)的計算方法主要分為常規(guī)計算方法和對數(shù)計算方法。

1、常規(guī)計算方法

幾何平均數(shù)的常規(guī)計算方法是簡單地將乘積每一個數(shù)的n次方根相乘，即：

G=(a1*a2*.....an)^1/n

例如，一個品種的股票在連續(xù)的 7 天內(nèi)分別上漲了 5%、6%、8%、4%、3%、5% 和 2%。此時，7天內(nèi)這個品種的收益率的幾何平均數(shù)為：

G=((1 0.05)×(1 0.06)×(1 0.08)×(1 0.04)×(1 0.03)×(1 0.05)×(1 0.02))^1/7 - 1= 0.0453\approx 4.53\%

2、對數(shù)計算方法

有時，我們會使用對數(shù)計算方法來計算幾何平均數(shù)。使用對數(shù)的好處是可以將乘法轉(zhuǎn)換為加法，使得計算過程更加容易。對于乘積 a1×a2×……×an (ai>0) 而言，有：

ln(a1×a2×......×an)=ln a1 ln a2 ...... ln an

因此，上式中每個數(shù)取自然對數(shù)，即可進(jìn)一步得到：

lnG = 1/n (lna1 lna2 ...... lnan)

從而通過取對數(shù)的方法，將乘法轉(zhuǎn)換成了加法。計算幾何平均數(shù)的過程就變成了將每個數(shù)依次取對數(shù)，然后將它們相加，最后再將它們的和除以n后得到幾何平均數(shù)。即：

G=exp(1/n(lna1 lna2 ...... lnan))

例如，我們使用對數(shù)計算方法計算上面那個例子中，7天內(nèi)股票的收益率的幾何平均數(shù)。假設(shè)我們用對數(shù)計算方法，我們可以先計算出每日的收益率的自然對數(shù)，然后將相應(yīng)的對數(shù)相加并除以7，最后再將結(jié)果求冪得到幾何平均數(shù)。即：

ln(1 0.05)=0.0488, ln(1 0.06)= 0.0578, ln(1 0.08)=0.0760,

ln(1 0.04)=0.0392, ln(1 0.03)=0.0296, ln(1 0.05)=0.0488, ln(1 0.02)=0.0198

G=exp[(0.0488 0.0578 0.0760 0.0392 0.0296 0.0488 0.0198)/7]=1.0453

三、幾何平均數(shù)在實際應(yīng)用中的應(yīng)用

1、金融領(lǐng)域的應(yīng)用

金融領(lǐng)域是幾何平均數(shù)最常見的應(yīng)用場景之一。在金融投資中，幾何平均數(shù)通常用于計算投資組合的回報率。例如，投資者擁有兩項投資：一項投資的年回報率為15%，另一項投資的年回報率為25%。這兩項投資的幾何平均年回報率是：

G=[(1 0.15)×(1 0.25)]^0.5 - 1 = 19.1%

2、統(tǒng)計學(xué)中的應(yīng)用

幾何平均數(shù)在統(tǒng)計學(xué)中也有重要的應(yīng)用。例如，好的統(tǒng)計方法會對易腐或不穩(wěn)定的指標(biāo)進(jìn)行幾何平均數(shù)或回歸后的平均數(shù)計算，這樣可以增強(qiáng)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，避免極端值對數(shù)據(jù)計算的影響。

3、環(huán)保與健康領(lǐng)域的應(yīng)用

幾何平均數(shù)也被廣泛應(yīng)用于一些環(huán)保和健康領(lǐng)域中的數(shù)據(jù)分析。例如，溫室氣體排放的平均增長率可以使用幾何平均數(shù)來確定，以便更好地對排放趨勢進(jìn)行監(jiān)測。同樣，死亡率的幾何平均數(shù)可用于確定有害物質(zhì)或疾病的危險程度。

總結(jié)

幾何平均數(shù)是對數(shù)據(jù)集中存在的平均變化率進(jìn)行度量的一種方法。幾何平均數(shù)是指若干個正實數(shù)的積的n次方根，在金融、統(tǒng)計和環(huán)保健康等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。幾何平均數(shù)的計算方法包括常規(guī)計算法和對數(shù)計算法，其中對數(shù)計算法可以將乘法轉(zhuǎn)換為加法，便于計算。