幾何平均數（Geometric Mean）是數學中的一種重要概念，是指若干個正實數的積的 n 次方根，其中n是這些數的個數。幾何平均數是對數據集的一種度量，能夠反映數據集存在的平均變化率，常用于統計分析、金融投資等領域。本文將詳細探討幾何平均數的定義、計算方法以及其在實際應用中的運用。

一、幾何平均數的定義

幾何平均數是一組正數的 n 個乘積每一個數的n次方根。其定義式如下：

設有n個正數a1、a2、.....、an，則這n個正實數的幾何平均數G等于：

G=(a1*a2*.....an)^1/n

將指數n常用于描述數據集的變化程度。舉例來說，當n=2時，幾何平均數成為一個數對的諧均值。當n=3時，則是三個數的立方根。

幾何平均數可以用來評估一組數據的典型變化率。乘性增長或減少甚至可以通過視覺展現成為加性增長或減少。通過對稱性的展開，幾何平均數也可以定義為以下形式：

G=（a/1）x（b/a）x（c/b）......（n-1）/（n-2)

這種形式也可以證明幾何平均數與其它平均數之間的關系，例如算術平均數和調和平均數。

二、幾何平均數的計算方法

幾何平均數的計算方法主要分為常規計算方法和對數計算方法。

1、常規計算方法

幾何平均數的常規計算方法是簡單地將乘積每一個數的n次方根相乘，即：

G=(a1*a2*.....an)^1/n

例如，一個品種的股票在連續的 7 天內分別上漲了 5%、6%、8%、4%、3%、5% 和 2%。此時，7天內這個品種的收益率的幾何平均數為：

G=((1 0.05)×(1 0.06)×(1 0.08)×(1 0.04)×(1 0.03)×(1 0.05)×(1 0.02))^1/7 - 1= 0.0453\approx 4.53\%

2、對數計算方法

有時，我們會使用對數計算方法來計算幾何平均數。使用對數的好處是可以將乘法轉換為加法，使得計算過程更加容易。對于乘積 a1×a2×……×an (ai>0) 而言，有：

ln(a1×a2×......×an)=ln a1 ln a2 ...... ln an

因此，上式中每個數取自然對數，即可進一步得到：

lnG = 1/n (lna1 lna2 ...... lnan)

從而通過取對數的方法，將乘法轉換成了加法。計算幾何平均數的過程就變成了將每個數依次取對數，然后將它們相加，最后再將它們的和除以n后得到幾何平均數。即：

G=exp(1/n(lna1 lna2 ...... lnan))

例如，我們使用對數計算方法計算上面那個例子中，7天內股票的收益率的幾何平均數。假設我們用對數計算方法，我們可以先計算出每日的收益率的自然對數，然后將相應的對數相加并除以7，最后再將結果求冪得到幾何平均數。即：

ln(1 0.05)=0.0488, ln(1 0.06)= 0.0578, ln(1 0.08)=0.0760,

ln(1 0.04)=0.0392, ln(1 0.03)=0.0296, ln(1 0.05)=0.0488, ln(1 0.02)=0.0198

G=exp[(0.0488 0.0578 0.0760 0.0392 0.0296 0.0488 0.0198)/7]=1.0453

三、幾何平均數在實際應用中的應用

1、金融領域的應用

金融領域是幾何平均數最常見的應用場景之一。在金融投資中，幾何平均數通常用于計算投資組合的回報率。例如，投資者擁有兩項投資：一項投資的年回報率為15%，另一項投資的年回報率為25%。這兩項投資的幾何平均年回報率是：

G=[(1 0.15)×(1 0.25)]^0.5 - 1 = 19.1%

2、統計學中的應用

幾何平均數在統計學中也有重要的應用。例如，好的統計方法會對易腐或不穩定的指標進行幾何平均數或回歸后的平均數計算，這樣可以增強數據的穩定性，避免極端值對數據計算的影響。

3、環保與健康領域的應用

幾何平均數也被廣泛應用于一些環保和健康領域中的數據分析。例如，溫室氣體排放的平均增長率可以使用幾何平均數來確定，以便更好地對排放趨勢進行監測。同樣，死亡率的幾何平均數可用于確定有害物質或疾病的危險程度。

總結

幾何平均數是對數據集中存在的平均變化率進行度量的一種方法。幾何平均數是指若干個正實數的積的n次方根，在金融、統計和環保健康等領域有廣泛的應用。幾何平均數的計算方法包括常規計算法和對數計算法，其中對數計算法可以將乘法轉換為加法，便于計算。