導(dǎo)讀在大多數(shù)科學(xué)領(lǐng)域，一代人總是摧毀上一代人所構(gòu)建的東西，一代人所確立的東西總是被下一代人所毀滅。只有在數(shù)學(xué)領(lǐng)域,每代人都是在老建筑之上構(gòu)建新樓層。分析學(xué)，無(wú)窮....

在大多數(shù)科學(xué)領(lǐng)域，一代人總是摧毀上一代人所構(gòu)建的東西，一代人所確立的東西總是被下一代人所毀滅。只 有在數(shù)學(xué)領(lǐng)域,每代人都是在老建筑之上構(gòu)建新樓層。

分析學(xué)，無(wú)窮過(guò)程的研究，曾經(jīng)被牛頓和萊布尼茨理解為涉及到連續(xù)量，比如長(zhǎng)度、面積、速度和加速度，而數(shù)論則明顯以離散的自然數(shù)集作為它的領(lǐng)地。群論起初只涉及到離散的元素集，但克萊因想到了把數(shù)學(xué)的離散方面和連續(xù)方面在群的概念下統(tǒng)一起來(lái)。19世紀(jì)確實(shí)是數(shù)學(xué)中互相關(guān)聯(lián)的一個(gè)時(shí)期。對(duì)分析學(xué)和代數(shù)學(xué)的幾何學(xué)解釋是這一趨勢(shì)的一個(gè)方面；把解析的技術(shù)引入到數(shù)論領(lǐng)域是另一個(gè)方面。到19世紀(jì)末，最強(qiáng)大的趨勢(shì)是算術(shù)化；它影響了代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)和分析學(xué)。

哥廷根大學(xué)有兩個(gè)年輕人深受狄利克雷的影響，盡管他們?cè)趥€(gè)性和數(shù)學(xué)方向上大相徑庭。一個(gè)是理查德·戴德金；另一個(gè)是波恩哈德·黎曼。

黎曼在哥廷根

黎曼接替狄利克雷的位置時(shí)，他已經(jīng)發(fā)表了5篇專題論文，其中兩篇是論述物理學(xué)問(wèn)題。我們將援引黎曼最短的、大概也是最著名的一篇論文的實(shí)例，然后指出他對(duì)數(shù)學(xué)物理學(xué)的貢獻(xiàn)。

黎曼還得出了一些很有深度的跟數(shù)論和古典分析學(xué)有關(guān)的定理。歐拉曾經(jīng)注意到素?cái)?shù)理論與下面這個(gè)級(jí)數(shù)之間的關(guān)系：

式中，S是一個(gè)整數(shù)，這是狄利克雷級(jí)數(shù)的一個(gè)特例。黎曼陣對(duì)S是一個(gè)復(fù)變量的情況研究了同樣的級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)的和被定義為一個(gè)函數(shù)zeta（S），打那以后，這個(gè)函數(shù)被稱作黎曼zeta函數(shù)。黎曼是個(gè)多面手，有著富有創(chuàng)造力的頭腦，他不僅對(duì)幾何學(xué)和數(shù)論、而且還對(duì)分析學(xué)做出了貢獻(xiàn)。在分析學(xué)領(lǐng)域，他因?yàn)樵诜e分定義的精煉上所扮演的角色，因?yàn)閷?duì)柯西—黎曼方程的強(qiáng)調(diào)，以及因?yàn)槔杪妫蝗藗兯懹洝＿@些曲面是一個(gè)匠心獨(dú)運(yùn)的方案，為的是讓一個(gè)函數(shù)具有一致性，亦即，表示一個(gè)復(fù)變函數(shù)的一一映射，而這樣的函數(shù)在平常的高斯平面上是多值的。

這里，我們看到了黎曼的工作最為引人注目的方面：分析學(xué)中一種有著強(qiáng)烈直覺(jué)的幾何學(xué)背景，與魏爾斯特拉斯學(xué)派的算術(shù)化趨勢(shì)形成鮮明對(duì)照。他的方法被稱作“發(fā)現(xiàn)的方法”，而魏爾斯特拉斯的方法，正如我們將要看到的那樣，是一種“證明的方法”。他的成果極為重要，以至于伯特蘭·羅素把他描述為“邏輯上是愛(ài)因斯坦的直接前輩。”正是黎曼在物理學(xué)和數(shù)學(xué)上的直覺(jué)天才，使得像黎曼空間曲率或流形這樣一些概念得以產(chǎn)生，如果沒(méi)有這些概念，廣義相對(duì)論是不可能被構(gòu)想出來(lái)的。

數(shù)學(xué)物理學(xué)

19世紀(jì)最早對(duì)數(shù)學(xué)物理學(xué)做出貢獻(xiàn)的，是愛(ài)爾蘭人威廉·盧云·哈密頓，他大量利用了他在1820年代晚期建立數(shù)學(xué)光學(xué)理論時(shí)發(fā)展出來(lái)的概念，其方法的關(guān)鍵是把變分原理引入到了某些偏微分方程的處理中。他的研究建立在拉格朗日和泊松的工作的基礎(chǔ)上，但利用了更早確立的一些物理學(xué)原理。雅可比在19世紀(jì)30年代打造出了他自己的動(dòng)力學(xué)，重塑了哈密頓的創(chuàng)新觀念，并在他自己的理論背景下關(guān)注它們。結(jié)果是如今所謂的哈密頓—雅可比理論。哈密頓的主要支持者是蘇格蘭物理學(xué)家彼得·格思里·泰特（1831~1901）。他的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)包括早年對(duì)結(jié)的研究，在這一領(lǐng)域，他遵循了一條由高斯和利斯廷開(kāi)創(chuàng)的不大為人所知的研究路線，得到了電力學(xué)研究的促進(jìn)。

喬治·加布里埃爾·斯托克斯的名字每一個(gè)研讀高等微積分的學(xué)生都耳熟能詳。1850年，斯托克斯證明了斯托克斯定理。麥克斯韋最有名的是他在電磁波動(dòng)方程求導(dǎo)上所取得的驚人成功，他在促使數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家使用向量上發(fā)揮了很大影響。

魏爾斯特拉斯

在19世紀(jì)下半葉，柏林最重要的分析學(xué)家是卡爾·魏爾斯特拉斯。1854年，魏爾斯特拉斯發(fā)表在《克列爾雜志》上的一篇論述阿貝爾函數(shù)的論文使他贏得了廣泛的認(rèn)可，在19世紀(jì)最后30余年里，他被很多人認(rèn)為是世界上首屈一指的分析學(xué)家。

在19世紀(jì)中葉之前，人們普遍認(rèn)為，如果一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂于一個(gè)連續(xù)而可微的函數(shù)f（x），則通過(guò)逐項(xiàng)求原級(jí)數(shù)的微分所得到的第二個(gè)級(jí)數(shù)在同一區(qū)間必定收斂于函數(shù)f（x）。有好幾個(gè)數(shù)學(xué)家證明，情況未必是這樣，而且，只有這個(gè)級(jí)數(shù)對(duì)于這個(gè)區(qū)間是一致收斂的。魏爾斯特拉斯證明了，對(duì)于一個(gè)一致收斂的級(jí)數(shù)，逐項(xiàng)求積分也是允許的。1870年，海涅證明，一個(gè)連續(xù)函數(shù)，如果你把一致收斂這個(gè)條件強(qiáng)加給它，則它的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)就是唯一的。在這方面，他消除了狄利克雷和黎曼論述傅立葉級(jí)數(shù)的作品中的困難。

魏爾斯特拉斯對(duì)分析學(xué)的重要貢獻(xiàn)之一被稱作“解析延拓”。魏爾斯特拉斯把解析函數(shù)定義為一個(gè)冪級(jí)數(shù)連同所有那些可以通過(guò)解析開(kāi)拓從它這里獲得的級(jí)數(shù)。像魏爾斯特拉斯所做的這種工作，其重要性在數(shù)學(xué)分析中尤其能夠感覺(jué)到，在這一領(lǐng)域，微分方程的解很少是以不同于無(wú)窮級(jí)數(shù)的其他形式求出的。

分析學(xué)的算術(shù)化

1872年是有特殊意義的年份，不僅在幾何學(xué)領(lǐng)域，而且特別是在分析學(xué)領(lǐng)域。在這一年，至少有5個(gè)數(shù)學(xué)家對(duì)分析學(xué)的算術(shù)化做出了決定性的貢獻(xiàn)，其中一個(gè)是法國(guó)人，其余的是德國(guó)人。這個(gè)法國(guó)人是勃艮第大學(xué)的夏爾·梅雷；4個(gè)德國(guó)人分別是：柏林大學(xué)的卡爾·魏爾斯特拉斯，哈勒大學(xué)的H.E.海涅和格奧爾格·康托爾，以及不倫瑞克大學(xué)的J.W.R.戴德金。這些人在某種意義上代表了半個(gè)世紀(jì)函數(shù)和數(shù)的性質(zhì)研究的高峰，這項(xiàng)研究是1822年隨著傅立葉的熱理論以及馬丁·歐姆的努力開(kāi)始的，同一年，歐姆在《論完全一致的數(shù)學(xué)體系》中試圖把整個(gè)分析學(xué)簡(jiǎn)化為算術(shù)。

這50年的焦慮不安，有兩個(gè)主要原因。一個(gè)原因是對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)上執(zhí)行的運(yùn)算缺乏信任。人們甚至都不清楚，函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)———例如，冪級(jí)數(shù)，正弦或余弦級(jí)數(shù)———究竟是不是始終收斂于它所源自的那個(gè)函數(shù)。第二個(gè)原因是“實(shí)數(shù)”這個(gè)術(shù)語(yǔ)缺乏任何定義所引發(fā)的憂慮，這個(gè)定義是算術(shù)化計(jì)劃的核心。到1817年，波爾查諾已經(jīng)充分意識(shí)到了分析學(xué)中嚴(yán)謹(jǐn)性的必要，以至于克萊因把他稱作“算術(shù)化之父”；但波爾查諾的影響比不上柯西，后者的分析學(xué)依然受到幾何直覺(jué)的妨礙。就連波爾查諾在1830年前后提出的連續(xù)不可微函數(shù)也被后來(lái)者所忽視，魏爾斯特拉斯所給出的這種函數(shù)的實(shí)例，被普遍認(rèn)為是它的最早例證。

與此同時(shí)，黎曼展示了一個(gè)函數(shù)f（x），它在一個(gè)區(qū)間內(nèi)無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)上不連續(xù)，然而它的積分卻存在，并定義了一個(gè)連續(xù)函數(shù)F（x），對(duì)于上述無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，它并沒(méi)有導(dǎo)數(shù)。黎曼的函數(shù)在某種意義上比波爾查諾和魏爾斯特拉斯的函數(shù)更正常一些，但有一點(diǎn)已經(jīng)很清楚：積分需要一個(gè)比柯西的定義更為小心謹(jǐn)慎的定義，柯西的定義在很大程度上受到了一條曲線之下的區(qū)域這樣一種幾何感的引導(dǎo)。今天從上和與下和的角度對(duì)一個(gè)區(qū)間上的定積分給出的定義，通常被稱作黎曼積分，以紀(jì)念這個(gè)給出有界函數(shù)可積的充分必要條件的人。例如，狄利克雷函數(shù)在任何區(qū)間上都沒(méi)有黎曼積分。更一般的積分定義，加諸函數(shù)的條件更弱，是在下個(gè)世紀(jì)提出的，但大多數(shù)大學(xué)微積分課程中所使用的積分定義依然是黎曼的定義。

在波爾查諾的工作與魏爾斯特拉斯的工作之間，存在一段大約50年的間隔，但在這半個(gè)世紀(jì)里人們的努力是如此一致，對(duì)重新發(fā)現(xiàn)波爾查諾的作品的需要是如此迫切，以至于有一個(gè)著名的定理被冠以這兩個(gè)人的名字，這就是波爾查諾—魏爾斯特拉斯定理：一個(gè)包含無(wú)窮多個(gè)元（比如點(diǎn)和數(shù)）的有界集S至少包含一個(gè)極限點(diǎn)。盡管這個(gè)定理是波爾查諾證明的，而且柯西明顯也知道，但正是魏爾斯特拉斯的工作，使得它被數(shù)學(xué)家們所熟悉。

拉格朗日曾對(duì)傅立葉級(jí)數(shù)表示懷疑，但1823年，柯西認(rèn)為他已經(jīng)證明了一般傅立葉級(jí)數(shù)的收斂性。狄利克雷讓我們看到，柯西的證明是不充分的，并提出了收斂性的充分條件。黎曼正是在試圖放寬狄利克雷提出的傅立葉級(jí)數(shù)收斂性條件的過(guò)程中，發(fā)展出了他對(duì)黎曼積分的定義；關(guān)于這一點(diǎn)，他證明了一個(gè)函數(shù)f（x）在一個(gè)區(qū)間內(nèi)可積，而無(wú)需可被傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)。正是無(wú)窮三角級(jí)數(shù)的研究，導(dǎo)致了康托爾的集合理論。

在決定性的1872年剛剛過(guò)去一年之后，一個(gè)有望對(duì)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)史做出重要貢獻(xiàn)的年輕人去世了，當(dāng)時(shí)只有34歲。他就是赫爾曼·漢克爾，黎曼的學(xué)生和萊比錫大學(xué)的數(shù)學(xué)教授。1867年，漢克爾出版了《復(fù)數(shù)系理論》一書(shū)，他在書(shū)中指出：“建立一種泛算術(shù)的條件因此是一種純智性數(shù)學(xué)，一種脫離了一切感覺(jué)的數(shù)學(xué)”。我們已經(jīng)看到，當(dāng)高斯、羅巴切夫斯基和波約使自己擺脫了空間成見(jiàn)的時(shí)候，幾何學(xué)的革命便發(fā)生了。在有點(diǎn)類似的意義上，正如漢克爾所預(yù)見(jiàn)的那樣，只有當(dāng)數(shù)學(xué)家們懂得，實(shí)數(shù)應(yīng)該被視為“智性結(jié)構(gòu)”，而不是從歐幾里得的幾何學(xué)那里繼承來(lái)的從直覺(jué)上給出的量，分析學(xué)的徹底算術(shù)化才成為可能。

魏爾斯特拉斯試圖把微積分跟幾何學(xué)分離開(kāi)來(lái)，把它僅僅建立在數(shù)的概念的基礎(chǔ)之上。要做這件工作，就必須給出獨(dú)立于極限概念的無(wú)理數(shù)的定義，因?yàn)槠駷橹骨罢咭廊灰院笳邽橄葲Q條件。為了糾正柯西的邏輯錯(cuò)誤，魏爾斯特拉斯通過(guò)使數(shù)列本身成為數(shù)或極限，從而解決了一個(gè)收斂數(shù)列的極限是否存在的問(wèn)題。

康托爾與戴德金

戴德金早在1858年就開(kāi)始關(guān)注無(wú)理數(shù)問(wèn)題，當(dāng)時(shí)他正在講授微積分。他得出結(jié)論，極限概念，如果想讓它嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑挘蛻?yīng)該僅僅通過(guò)算術(shù)來(lái)發(fā)展，無(wú)需來(lái)自幾何的引導(dǎo)。戴德金沒(méi)有簡(jiǎn)單地尋找一條走出柯西的惡性循環(huán)的途徑，而是問(wèn)自己，在連續(xù)的幾何量中，究竟有什么東西把它跟有理數(shù)區(qū)別開(kāi)來(lái)。

伽利略和萊布尼茨認(rèn)為，直線上點(diǎn)的“連續(xù)”是它們的密度的結(jié)果———在任何兩點(diǎn)之間總是有第三點(diǎn)。然而，有理數(shù)也有這個(gè)屬性，但它們并沒(méi)有構(gòu)成一個(gè)連續(xù)統(tǒng)。在思考這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，戴德金得出結(jié)論：一條線段的連續(xù)性，其本質(zhì)并非由于一種含糊不清的緊密相連，而是要?dú)w因于一種截然相反的屬性：線段上的一點(diǎn)把線段分為兩部分的那種特性。把線段上的點(diǎn)分為兩類，使得每一點(diǎn)屬于且只屬于其中一類，且一類中的每一點(diǎn)都在另一類中的每一點(diǎn)的左邊，在任何這樣的分割中，都有且只有一點(diǎn)導(dǎo)致這種分割。

戴德金認(rèn)識(shí)到，可以把有理數(shù)域擴(kuò)大，構(gòu)成一個(gè)實(shí)數(shù)的連續(xù)統(tǒng)，只要你假設(shè)一個(gè)前提，這就是如今所說(shuō)的康托爾—戴德金公理，即：一條直線上的點(diǎn)可以跟實(shí)數(shù)建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。戴德金指出，現(xiàn)在，關(guān)于極限的基本定理都可以得到證明，而無(wú)需求助于幾何學(xué)。正是幾何學(xué)，指明了通向連續(xù)性的恰當(dāng)定義之路，但到最后，它被排除在這個(gè)概念正式的算術(shù)定義之外。有理數(shù)系中的戴德金分割，或?qū)崝?shù)的等價(jià)物，如今取代了幾何量，成為分析學(xué)的支柱。

實(shí)數(shù)的定義，正如漢克爾曾經(jīng)提及的那樣，是建立在有理數(shù)基礎(chǔ)上的智性結(jié)構(gòu)，而不是從外部強(qiáng)加給數(shù)學(xué)的某種東西。在上述定義中，一個(gè)最流行的定義是戴德金的定義。20世紀(jì)初，伯特蘭·羅素對(duì)戴德金分割提出了修改。

康托爾出生于圣彼得堡，在蘇黎世、哥廷根和柏林上學(xué)期間，專注于哲學(xué)、物理學(xué)和數(shù)學(xué)———這個(gè)過(guò)程似乎培養(yǎng)了他前所未有的數(shù)學(xué)想象力。1867年，他以一篇關(guān)于數(shù)論的論文獲得了博士學(xué)位，但他的早期作品卻顯示出了對(duì)魏爾斯特拉斯的分析學(xué)的興趣。這一領(lǐng)域促使他在二十八九歲的時(shí)候頭腦里迸發(fā)出的那些革命性的觀念。我們已經(jīng)提到過(guò)康托爾跟“實(shí)數(shù)”這個(gè)平淡無(wú)奇的術(shù)語(yǔ)有關(guān)的工作；但他最具原創(chuàng)性的貢獻(xiàn)是以“無(wú)窮”這個(gè)刺激性的詞語(yǔ)為中心。

自芝諾的時(shí)代以來(lái)，人們一直在談?wù)摕o(wú)窮，既在神學(xué)領(lǐng)域，也在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，但1872年之前，沒(méi)有一個(gè)人能夠準(zhǔn)確地說(shuō)出他所談?wù)摰氖鞘裁础Ｔ陉P(guān)于無(wú)窮的討論中，人們太過(guò)頻繁地援引的實(shí)例，都是諸如無(wú)窮次冪或無(wú)窮大量之類的東西。偶爾，像伽利略和波爾查諾的作品那樣，人們的注意力也集中在一個(gè)集合的無(wú)窮多元上，例如，自然數(shù)或一條線段上的點(diǎn)。在人們一直試圖識(shí)別出數(shù)學(xué)中實(shí)際的或“完全的”無(wú)窮，在這樣的努力中，柯西和魏爾斯特拉斯只看到了悖論，并相信無(wú)窮大和無(wú)窮小所指稱的只不過(guò)是亞里士多德的可能性———即上述過(guò)程的不完全性。康托爾和戴德金得出了相反的結(jié)論。在波爾查諾的悖論中，戴德金看到的不是反常，而是無(wú)窮集的一個(gè)普遍屬性，他把這一屬性視為一個(gè)準(zhǔn)確的定義：

一個(gè)系統(tǒng)S，當(dāng)它與自身的嚴(yán)格意義上的一部分相似時(shí)，我們說(shuō)它是無(wú)窮的；在相反的情況下，我們說(shuō)S是一個(gè)有限的系統(tǒng)。

用更現(xiàn)代的術(shù)語(yǔ)說(shuō)，一個(gè)元素集S，如果它的一個(gè)真子集S中的元素可以跟S中的元素建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，則我們說(shuō)S是無(wú)窮集。

戴德金的無(wú)窮集定義1872年發(fā)表在他的《連續(xù)性與無(wú)理數(shù)》中。1874年，康托爾在《克列爾雜志》上發(fā)表了他最具革命性的論文之一。他像戴德金一樣，也認(rèn)識(shí)到了無(wú)窮集的基本屬性，但是，不同的是，他認(rèn)識(shí)到，并非所有無(wú)窮集都是一樣的。在有限的情況下，如果不同的元素集可以建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，我們就說(shuō)它們有一樣的數(shù)量（基數(shù)）。以有點(diǎn)類似的方式，康托爾著手依據(jù)集合的“勢(shì)”來(lái)構(gòu)建無(wú)窮集的等級(jí)體系。完全平方數(shù)集或三角形數(shù)集跟所有正整數(shù)的集合有同樣的勢(shì)，因?yàn)檫@些集合可以建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。這些集合似乎比所有有理分?jǐn)?shù)的集合小得多，然而，康托爾證明，有理分?jǐn)?shù)的集合也是可數(shù)的，也就是說(shuō)，它也能跟正整數(shù)建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此有同樣的勢(shì)。要證明這一點(diǎn)，我們只要循著下圖中的箭頭，順著箭頭的方向“數(shù)一數(shù)”分?jǐn)?shù)。

有理分?jǐn)?shù)非常密集，在任何兩個(gè)有理分?jǐn)?shù)（不管它們挨得多近）之間，總是還有一個(gè)有理分?jǐn)?shù)；然而，康托爾的排列顯示，分?jǐn)?shù)集的勢(shì)跟整數(shù)集是一樣的。你一定很想知道，是不是所有數(shù)集都有同樣的勢(shì)，但康托爾令人信服地證明了，情況并非如此。例如，跟有理分?jǐn)?shù)的集合比起來(lái)，所有實(shí)數(shù)的集合有更高的勢(shì)。為了證明這一點(diǎn)，康托爾使用了歸謬法。假設(shè)0與1之間的實(shí)數(shù)是可數(shù)的，表示為無(wú)盡小數(shù)（例如，1/3是0.333…，1/2是0.499…，以此類推），并以可數(shù)順序排列如下：

為了證明并非所有0與1之間的實(shí)數(shù)都被包括在上面的排列中，康托爾顯示了一個(gè)無(wú)盡小數(shù)，與上面列出的那些數(shù)都不同。要做到這一點(diǎn)，只需構(gòu)建一個(gè)小數(shù)：

這個(gè)實(shí)數(shù)在0與1之間，然而，它并不等于上面那個(gè)被假定為包含0與1之間的所有實(shí)數(shù)的排列中的任何一個(gè)數(shù)。

實(shí)數(shù)可以用兩種不同的方式細(xì)分為兩種類型：（1）按照有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，（2）按照代數(shù)數(shù)和超越數(shù)。康托爾證明了，即使是代數(shù)數(shù)這一類（它們遠(yuǎn)比有理數(shù)更加一般），它們依然跟整數(shù)有一樣的勢(shì)。因此，正是超越數(shù)，給予實(shí)數(shù)系以導(dǎo)致更高勢(shì)的“密度”。本質(zhì)上正是密度問(wèn)題，決定了一個(gè)集合的勢(shì)。

一個(gè)更令人吃驚的事實(shí)是：維數(shù)并不是一個(gè)集合的勢(shì)的決定因素。單位線段上點(diǎn)的集合，它的勢(shì)跟單位面積或單位體積中的點(diǎn)———或者，就這個(gè)問(wèn)題而言，甚至是三維空間里所有的點(diǎn)———的集合的勢(shì)是一樣的。（然而，維數(shù)依然是某種權(quán)威的衡量，因?yàn)樵诓煌S度的空間里，點(diǎn)的任何一一映射都必然是不連續(xù)映射。）點(diǎn)集理論中的某些結(jié)果太吊詭，竟使康托爾本人在1877年寫(xiě)信告訴戴德金：

我認(rèn)識(shí)到了它，但我不相信它

他請(qǐng)求戴德金檢驗(yàn)他的證明。出版者對(duì)接受他的論文也很猶豫，好幾次，由于編輯遲疑不決，擔(dān)心這種非傳統(tǒng)的處理數(shù)學(xué)概念的方法中潛伏的錯(cuò)誤，從而推遲了康托爾的文章在《克列爾雜志》上發(fā)表。

康托爾的驚人成果，導(dǎo)致了集合理論作為一門(mén)成熟的數(shù)學(xué)學(xué)科的建立，被稱為集合論或流形論，這一分支在20世紀(jì)中葉將對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。在創(chuàng)立這門(mén)學(xué)科的時(shí)候，康托爾花了很大的功夫讓他的同時(shí)代人相信這些結(jié)果的有效性，因?yàn)榇嬖谙喈?dāng)可觀的“無(wú)窮恐怖癥”，數(shù)學(xué)家們很不愿意接受實(shí)際上的無(wú)窮或完全無(wú)窮。在層層疊疊地堆積證據(jù)的過(guò)程中，康托爾最后構(gòu)建了整個(gè)超限算術(shù)的大廈。一個(gè)集合的“勢(shì)”成了該集合的“基數(shù)”。

因此，整數(shù)集的“基數(shù)”是“最小的”超限數(shù)E，而實(shí)數(shù)集或一條直線上點(diǎn)的集合的“基數(shù)”是一個(gè)“更大的”超限數(shù)C，即連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)。還有一個(gè)問(wèn)題依然沒(méi)有得到回答，這就是：E與C之間是不是存在超限數(shù)。康托爾表示，有無(wú)窮多個(gè)超限數(shù)超過(guò)C，因?yàn)樗C明了：一個(gè)集合的子集的集合，它的勢(shì)總是高于該集合本身的勢(shì)。因此，C的子集的集合的基數(shù)是第三個(gè)超限數(shù)，這個(gè)子集集合的子集集合決定了第四個(gè)超限數(shù)，依次類推，直至無(wú)窮。正如有無(wú)窮多個(gè)實(shí)數(shù)一樣，也有無(wú)窮多個(gè)超限數(shù)。

上面描述的超限數(shù)都是基數(shù)，但康托爾還發(fā)展出了超限序數(shù)的算術(shù)。次序關(guān)系在數(shù)學(xué)中是一個(gè)很棘手的問(wèn)題，因此到頭來(lái)人們發(fā)現(xiàn)，超限序數(shù)算術(shù)驚人地不同于有限序數(shù)算術(shù)。對(duì)于有限實(shí)例來(lái)說(shuō)，序數(shù)的法則本質(zhì)上跟基數(shù)的法則是一樣的。因此，3 4=4 3，而不管這些數(shù)字是代表基數(shù)，還是代表序數(shù)。然而，如果你用ω來(lái)代表“計(jì)數(shù)”，則ω 1跟1 ω并不一樣，因?yàn)? ω明顯跟ω相同。此外，你還可以證明：ω ω=ω且ω·ω=ω，這些屬性不同于有限序數(shù)的屬性，倒是類似于超限序數(shù)的屬性。

戴德金和康托爾都屬于他們那個(gè)時(shí)代最有能力的數(shù)學(xué)家，肯定是最具原創(chuàng)性的數(shù)學(xué)家。他驚人的產(chǎn)出，涵蓋了數(shù)論、方程理論、橢圓函數(shù)及其他領(lǐng)域。他對(duì)20世紀(jì)初葉代數(shù)學(xué)的影響相當(dāng)大，對(duì)數(shù)論的影響也是如此。眾所周知的是他那句

上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其余的一切都是人的工作。

他無(wú)條件地拒絕他那個(gè)時(shí)代的實(shí)數(shù)構(gòu)建，理由是：它們沒(méi)法僅通過(guò)有限的過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)。據(jù)說(shuō)他曾經(jīng)問(wèn)林德曼：證明π不是代數(shù)數(shù)有什么用，因?yàn)闊o(wú)理數(shù)是不存在的。

克羅內(nèi)克不僅擋住了康托爾在柏林大學(xué)獲得教席的道路，而且，他還試圖破壞康托爾正在創(chuàng)立的那個(gè)數(shù)學(xué)分支。反過(guò)來(lái)，1883年，康托爾在他的《一般流形論基礎(chǔ)》中寫(xiě)下了一段有力的辯護(hù)，他堅(jiān)持認(rèn)為：“明確的記數(shù)既可以用有限集來(lái)進(jìn)行，也可以用無(wú)窮集來(lái)進(jìn)行。”他并不害怕落入他所描述的“超越數(shù)的深淵”。克羅內(nèi)克繼續(xù)他對(duì)高度敏感、性情暴躁的康托爾的攻擊，1884年，康托爾第一次患上了神經(jīng)失常，在他此后30年的余生中，這種病還反復(fù)發(fā)作。抑郁癥的發(fā)作有時(shí)候?qū)е滤麘岩勺约旱墓ぷ鳎M管像埃爾米特這樣一些人的支持在一定程度上給他帶來(lái)了安慰。到最后，他的成就贏得了人們的認(rèn)可。希爾伯特驚呼：“沒(méi)有人能把我們逐出康托爾為我們創(chuàng)造的天堂。”

法國(guó)的分析學(xué)

19世紀(jì)中葉法國(guó)最著名的分析學(xué)工作大概是施圖姆和劉維爾的工作，處理的是有邊界條件的二次常微分方程理論。事實(shí)上，上面談到的這些論文就發(fā)表在19世紀(jì)30年代《劉維爾雜志》的最早幾期上。然而，它們的巨大意義只是逐步顯現(xiàn)出來(lái)，尤其是通過(guò)后來(lái)的英國(guó)分析學(xué)家對(duì)它們的利用。要解決的問(wèn)題是把手頭的表達(dá)式展開(kāi)為特征函數(shù)的可展開(kāi)性問(wèn)題，這可以被視為傅立葉級(jí)數(shù)的一般化。

施圖姆不僅研究了傅立葉的熱理論，還研究了他的論述方程的數(shù)值解的作品；這部作品的影響當(dāng)你讀到施圖姆最早的重要理論成果時(shí)馬上就一清二楚了。這個(gè)成果就是他的“分離定理”：任何兩個(gè)（實(shí)）解的振蕩都是交替的，或者說(shuō)是互相分離的。施圖姆—?jiǎng)⒕S爾理論不僅證明了可展開(kāi)性，而且還提供了解法和特征函數(shù)求值的準(zhǔn)則。該定理最開(kāi)始并不十分嚴(yán)謹(jǐn)。到19世紀(jì)末，應(yīng)用和證明的精細(xì)化才得以提供。

劉維爾還以其他各種各樣的貢獻(xiàn)而著稱。在復(fù)分析領(lǐng)域，他的工作在劉維爾定理中被人們所銘記：如果一個(gè)復(fù)變量為z的完全解析函數(shù)f（z）在復(fù)平面上有界，那么，f（z）必定是一個(gè)常數(shù)。從這個(gè)定理出發(fā)，可以推導(dǎo)出作為一個(gè)簡(jiǎn)單推論的代數(shù)基本定理：如果f（z）是一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式，且f（z）在復(fù)平面上任何地方都不為零，則其倒數(shù)F（z）=1/f（z）就滿足劉維爾定理的條件。所以，F(xiàn)（z）必定是一個(gè)常數(shù)，而它明顯不是一個(gè)常數(shù)。因此，至少有一個(gè)復(fù)數(shù)值z(mì)=z0滿足方程f（z）=0。在平面解析幾何中，有另外一個(gè)“劉維爾定理”：從一點(diǎn)P到一條圓錐曲線C的切線的長(zhǎng)度與C在相應(yīng)切點(diǎn)上的曲率半徑的立方根成正比。最后，我們不妨來(lái)看看劉維爾對(duì)實(shí)數(shù)理論最有名的貢獻(xiàn)。

數(shù)論主要是處理整數(shù)，或者從更一般的意義上說(shuō)，是處理整數(shù)的比———所謂的有理數(shù)。這樣的數(shù)始終是一個(gè)系數(shù)為整數(shù)的線性方程ax b=0的根。實(shí)分析處理的是一種更一般的數(shù)，要么是有理數(shù)，要么是無(wú)理數(shù)。從本質(zhì)上講，歐幾里得就已經(jīng)知道，ax^2 bx c=0的根（式中a、b和c都是一個(gè)給定長(zhǎng)度的整數(shù)倍）可以在幾何上用直尺和圓規(guī)作出。如果方程：

的系數(shù)a、b、c…q和n都是整數(shù)，且n>2，則這個(gè)方程的根用歐幾里得的工具通常是作不出的。由于每個(gè)有理數(shù)都是這樣一個(gè)方程對(duì)于n=1的一個(gè)根，問(wèn)題自然來(lái)了：每個(gè)無(wú)理數(shù)是不是這樣一個(gè)方程對(duì)于n≥2的一個(gè)根？對(duì)這個(gè)問(wèn)題的否定回答是劉維爾在1844年證實(shí)的，那一年，他構(gòu)建了一個(gè)范圍廣泛的代數(shù)實(shí)數(shù)類。他發(fā)展出來(lái)的這個(gè)特殊的類被稱作劉維爾數(shù)，范圍更廣泛的非代數(shù)實(shí)數(shù)被稱作超越數(shù)。劉維爾對(duì)超越數(shù)的構(gòu)建十分復(fù)雜，但我們還是可以給出超越數(shù)的某些簡(jiǎn)單實(shí)例，比如0.1001000100001…或下面這種形式的數(shù)：

要證明某個(gè)特定的實(shí)數(shù)———比如e和π———不是代數(shù)數(shù)，通常十分困難。例如，劉維爾能夠證明e和e^2都不可能是一個(gè)系數(shù)為整數(shù)的二次方程的根；因此，給定一個(gè)單位線段，長(zhǎng)度為e和e^2的線段都不能用歐幾里得的工具作出。但差不多又過(guò)了30年，對(duì)劉維爾的觀點(diǎn)追根究底的法國(guó)數(shù)學(xué)家夏爾·埃爾米特才得以能夠在1873年科學(xué)院《通報(bào)》上的一篇論文中證明：e不可能是任何系數(shù)為整數(shù)的多項(xiàng)式方程的根———也就是說(shuō)，e是超越數(shù)。

π這個(gè)數(shù)的身份問(wèn)題跟e比起來(lái)，讓數(shù)學(xué)家們倍感困擾的時(shí)間還要長(zhǎng)9年。朗伯在1770年、勒讓德在1794年都曾證明，π和π^2都是無(wú)理數(shù)，但這個(gè)證明并沒(méi)有終結(jié)古老的化圓為方問(wèn)題。問(wèn)題最終是1882年在慕尼黑大學(xué)的林德曼發(fā)表于《數(shù)學(xué)年刊》上的一篇文章中才得以塵埃落定。這篇題為《關(guān)于π這個(gè)數(shù)》的文章，在擴(kuò)展劉維爾和埃爾米特的工作的過(guò)程中，最終證明了，π也是一個(gè)超越數(shù)。這就是對(duì)化圓為方這個(gè)古典問(wèn)題的最后回答。要使化圓為方用歐幾里得的工具可以作出，π這個(gè)數(shù)就必須是一個(gè)代數(shù)方程的根，而且這個(gè)方程必須有一個(gè)可以用平方根表示的根。既然π不是代數(shù)數(shù)，圓就不可能依照古典法則化為方。在這次成功的鼓勵(lì)下，費(fèi)迪南·林德曼后來(lái)發(fā)表了好幾個(gè)費(fèi)馬大定理的所謂證明，但它們?nèi)急黄渌俗C明是無(wú)效的。

埃爾米特是19世紀(jì)法國(guó)最有影響的分析學(xué)家之一。他最早引起關(guān)注是在1842年，當(dāng)時(shí)還是一個(gè)高中生，憑借的是提交給《新數(shù)學(xué)年刊》的兩篇論文。其中有一篇論文是對(duì)五次方程可解性的非常簡(jiǎn)潔的闡述。1858年，他和克羅內(nèi)克都用橢圓模函數(shù)解出了五次方程。1864年，他在研究無(wú)界區(qū)間上函數(shù)展開(kāi)式的問(wèn)題時(shí)貢獻(xiàn)了一種新的特殊函數(shù)類。具有諷刺意味的是，這位偉大分析學(xué)家的名字如今更頻繁地出現(xiàn)在代數(shù)學(xué)中，而不是出現(xiàn)在分析學(xué)中：給定一個(gè)矩陣（n×n列）H；設(shè)矩陣的每個(gè)元都被復(fù)共軛所取代，并把所得到的矩陣稱作H*，則該矩陣被稱作埃爾米特矩陣。1858年，埃爾米特證明，這樣一個(gè)矩陣的特征值是實(shí)數(shù)。先前他曾為一個(gè)矩陣M創(chuàng)建了“正交”矩陣這個(gè)術(shù)語(yǔ)，其條件是：M等于M*的逆。

19世紀(jì)法國(guó)分析學(xué)家們的穩(wěn)定貢獻(xiàn)證明了法國(guó)分析學(xué)土壤繼續(xù)肥沃豐饒；但最顯著的標(biāo)志是龐加萊和他年輕的同時(shí)代人呈現(xiàn)給新世紀(jì)的壯觀展示。