出品：科普中國

制作：李瑞（大阪大學(xué) ）

監(jiān)制：中國科學(xué)院計算機網(wǎng)絡(luò)信息中心

3月15日是什么日子？

是國際消費者權(quán)益日，不僅如此，很多名人都出生在這一天，例如清順治帝、德國免疫學(xué)奠基人埃米爾·阿道夫·馮·貝林、法國天文學(xué)家尼可拉·路易·拉卡伊、中國第六代導(dǎo)演領(lǐng)軍人物之一婁燁等。

跟這么多名人在同一天生日，是不是特別的緣分，是不是在暗示什么！網(wǎng)絡(luò)上還說遇到和自己同一天生日的人要格外珍惜，出生在同一天是不是有特殊的含義呢！

其實，兩個人在同一天出生的概率可能比你想象的要大很多。

來源：699pic.com

一個班級中，出現(xiàn)相同生日的概率有多大？

假設(shè)某小學(xué)某個班級有學(xué)生40人，其中出現(xiàn)相同生日（同月同日）的概率有多大？

這其實是一個排列組合的問題。首先，假定同日出生的情況確實存在，那么可能的組合除了最簡單的一種——兩個人出生在同一天，還會有很多種。

不同日期都存在生日相同的情況，比如兩個人出生在3月15日，兩個人出生在4月13日。可能同一天出生的人不止兩個，例如3月15日出生的人有三個。

這樣考慮起來的話，還可能出現(xiàn)三個人出生在某一天，四個人出生在另外一天之類的復(fù)雜情況。

如果想要列舉每個可能的組合，再把概率相加，事實上幾乎是不可能完成的任務(wù)。

不過，假如從反面進行思考，這個問題就會變得簡單很多。

同一個班級有重復(fù)生日和沒有重復(fù)生日這兩個事件發(fā)生的概率相加為1，只要計算出沒有出現(xiàn)生日重復(fù)的概率，再用1減去這一概率就是我們想要的結(jié)論。

如此一來，我們可以將問題簡化成一個40人的小學(xué)班級中沒有任何兩個（或者更多）人出生在同一天的概率。

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為了便利，我們假定先把所有人請到教室外面，然后再挨個把同學(xué)們叫回來，并在這一過程中計算新加入同學(xué)和之前同學(xué)的生日都不相同的概率。

假設(shè)第一位進教室的同學(xué)生日是3月15日，我們請第二位同學(xué)進場，為了滿足題目的要求，第二位同學(xué)的生日可以是365天中除了3月15日的任何一天，與第一位同學(xué)生日不相同的概率是364/365。

（這里我們做了兩個假定，第一是不考慮閏年的情況，第二是全年每天的出生率應(yīng)該均等。）

請第三位同學(xué)入場，他的生日不能和之前兩位同學(xué)一樣，那么現(xiàn)在概率就變成了（364/365）×（363/365），第一個括號是前兩位同學(xué)生日不相同的概率，第二個括號是第三位和前兩位生日不同的概率，相乘的結(jié)果就是三人生日都不同的概率。四個人生日不同的概率就是（364/365）×（363/365）×（362/365）……

來源：作者自制

以此類推，一直計算到第40個人，再用1來減去算出的概率，就是我們想知道的問題答案，也就是40個人中出現(xiàn)生日重復(fù)事件的概率。

最后得到的結(jié)果是89.1%。是不是比預(yù)想的要大？

如果人數(shù)繼續(xù)增加，這個概率還會急劇上升，50個人班級的這一概率是97.0%，60個人則達到99.4%，70個人已經(jīng)是99.9%。

換句話說，70個人的班級內(nèi)沒有任何生日相同情況出現(xiàn)的概率小于千分之一。

來源：作者自制

小貼士：實際過程中我們無需傻傻地計算三四十次，計算機軟件（簡單的電子表格即可）能幫助我們完成這種重復(fù)繁瑣的任務(wù)。

有一個非常經(jīng)典的數(shù)學(xué)"悖論"叫做"生日問題"：在一個房間最少要多少人，可以讓其中兩個人生日相同的概率大于50%？

根據(jù)上面的計算方法，我們可以很容易地得到答案，23個人。

相信這一數(shù)字比大多數(shù)人的直覺預(yù)估都要少。

雖然稱為"悖論"，但從引起邏輯矛盾的角度來說生日問題并不是悖論，它被稱作悖論只是因為這個數(shù)學(xué)事實與一般直覺相抵觸而已。

畢竟大多數(shù)人會認(rèn)為，23人中有2人生日相同的概率應(yīng)該遠遠小于50%。

遇到和自己同一天生日的人概率有多大？

說到這里，你可能會有一個疑惑：既然上面算出的概率都大得出乎意料，那為什么自己從小到大都沒在班級中遇到和自己同天出生的人？

其實，如果你足夠聰明，應(yīng)該會意識到這是另外的一個命題——一個40人的班級中，出現(xiàn)和自己同天生日人的概率是多少？

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我們還是用逐一請同學(xué)們進教室的思考方式解答問題。先計算40人班級中沒有任何一個人跟自己生日相同的概率，再用1減去這個值，就是我們需要的結(jié)果。

首先"我"進入教室，第二個進入教室的同學(xué)生日和"我"不同的概率是364/365，第二、第三個同學(xué)生日和"我"都不同的概率是（364/365）×（364/365），進入第四個同學(xué)時的答案是（364/365）×（364/365）×（364/365）……

以此類推，當(dāng)進入第n個同學(xué)的時，概率是（364/365）的n-1次方。

最后，我們再用1減去上面的結(jié)果，就是n個人的班級中，出現(xiàn)和自己同一天生日的人的概率。

計算結(jié)果如下：4個人的班級（0.8%）、23個人的班級（5.8%）、40個人的班級（10.1%）……

結(jié)果來看比上一個問題更加符合我們的普遍認(rèn)知。

所以40個人的班級中，出現(xiàn)和自己生日相同同學(xué)的概率是10.1%。

我們每個人從小到大都會加入很多班級，從以上的計算結(jié)果來看，假如從小到大任何一個班級中都沒有生日相同的人，那才是真正的奇跡！

我們以小學(xué)每個班60人，初中每個班70人，高中每個班50人，大學(xué)每個班30人進行計算，結(jié)果是小于一千萬分之五，概率上來說已經(jīng)到了彩票大獎的級別。

所以，一群人中出現(xiàn)生日相同的概率就已經(jīng)比很多人的預(yù)想要大得多，更不用說全球幾十億人了。

當(dāng)然，由于實際上每天的出生率并沒有顯著差別，全球70億人中，某個日期（注意是日期不是具體的年份加日期，如3月15日，而非1985年3月15日）對應(yīng)的人口總數(shù)大約是2000萬。

如果再考慮歷史上已經(jīng)死去的人，那某天出生的人必然都是天文數(shù)字，其中的任何一天都有無數(shù)的名人出生或者故去。

這么說來，雖然我們希望每一天都是美好、特別、神奇的日子，不過其實每一天都平凡而普通。