函數連續是什么意思

函數連續定義如下：

簡單說，就是自變量的變化量趨于0的時候，函數值的變化量也趨于0。

圖1

如上圖所示，我們可以把函數連續的含義理解為紅色小球沿著曲線下滑的過程：當自變量

Δx 趨于0的過程中，Δy 也趨于0。也可以想象x0+Δx點上的那根垂線，被強行向左拉到x0點，這個過程中，Δy的高度可以看作是Δx變小的過程中被強行壓縮到0。

上圖的證明表示，Δ y等于0是被Δ x拖動到0，因為第二個等號中每一項都存在Δ x,因此Δ y完全可以看作是被Δ x迫使到0。而且上圖中的Δy是等于0，而不是約等于，這是因為Δ x是無窮小，是沒辦法用任何數字表示出來的，因此，導致Δy也無法用任何數字表示，只能認為是等于0，這是一種強制性的等于0，而不是約等于，與1+0.0000001約等于1有著本質的區別，后者是人為的忽略導致的。

Δy=(x+Δx)^n-(x)^n

= x^n + nx^(n-1)Δx +... + nCrx^(n-r) (Δx)^r +...+ nx(Δx)^(n-1) + (Δx)^n-x^n

=nx^(n-1)Δx +... + nCrx^(n-r) (Δx)^r +...+ nx(Δx)^(n-1)

where

nCr = n!/(r!(n-r)!)

從以上推導看出，對于x的n次方來說，求差以后每一項中也都出現了Δx，因此Δy肯定會變成為0。由以上分析似乎可以看出，連續就意味著Δy的每一項中都有Δx的乘積項。

從上圖看到，Δy的乘積中如果沒有Δx，也可以通過數學變換讓其出現。當然還有別的情況，比如指數函數a^x。

函數連續的第二種定義如下：

這個定義其實和前一種定義是一樣的。

那么，什么情況下不連續呢？

上圖中我們看到，當Δx從左右兩邊趨向0時，其目的地f(0)不一樣，而圖1中不管Δx從左還是右趨向x0的時候，目的地都是f(x0)。

還有下圖情況。這里x0=0，因為目的點f(x0)是無窮大，而無窮大我們是不知道到底在哪里的，所以我們認為這種情況也是不連續的。

下圖則是不但不知道目的點f(x0)在哪里，而且左右目的點不相同。

下圖則是每一個點都不連續的函數：

因為數軸上任意兩個點（包括有理數和無理數）之間，都包含無窮多個其它的有理數和無理數點。

綜上：

1：連續就是當Δ x趨于0時強制把Δ y也趨于0，從而到達目的地f(x0)。

2：當Δ x從左右兩邊趨于0而到達的目的點不一致，或者目的點不確定的時候，這種情況下函數不連續。