平均數(shù)的認(rèn)識

一．概念描述

現(xiàn)代數(shù)學(xué)：平均數(shù)分為算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、指數(shù)平均數(shù)和平方平均數(shù)等。在小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的平均數(shù)主要是算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)，它們都是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本概念，因常用于計(jì)算樣本的集中趨勢，所以也分別叫作樣本算術(shù)平均數(shù)（值）和樣本加權(quán)算術(shù)平均數(shù)（值）。

小學(xué)數(shù)學(xué)：小學(xué)數(shù)學(xué)教材中沒有明確給出平均數(shù)的定義，主要通過“總數(shù)除以總份數(shù)所得的結(jié)果就是平均數(shù)”進(jìn)行過程性定義，重點(diǎn)在于讓學(xué)生掌握計(jì)算平均數(shù)的方法，并能結(jié)合實(shí)際問題進(jìn)行分析，感受平均數(shù)的價值。

二．概念解讀

(1)平均數(shù)與中位數(shù)和眾數(shù)

平均數(shù)在數(shù)據(jù)分析的過程中發(fā)揮著重要的作用，與中位數(shù)和眾數(shù)有著密切的聯(lián)系。在日常學(xué)習(xí)和生活中處理的數(shù)據(jù)大部分是對稱的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)符合或者近似符合正態(tài)分布，這時平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)是一樣的。如果數(shù)據(jù)偏態(tài)分布， 三者才會有所區(qū)別。

平均數(shù)易受極端數(shù)據(jù)的影響，但是與中位數(shù)和眾數(shù)相比，平均數(shù)能更多地利用所有數(shù)據(jù)的信息。另外，還有一個原因：假設(shè)x和y的平均數(shù)為a，利用中學(xué)的知識可以證明a是與x，y這兩個數(shù)據(jù)差的平方和達(dá)到最小的實(shí)數(shù)，即對任意的實(shí)數(shù)有（x-a）2+（y-a）2≤（y-b）2(a≠b)。這說明平均數(shù)使平方和達(dá)到最小，也就是說用平均數(shù)代表數(shù)據(jù)，可以使二次損損失最小。而利用中位數(shù)和眾數(shù)，可以使一次損失（誤差絕對值的和）最小。

(2)算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)

過去小學(xué)數(shù)學(xué)把算術(shù)平均數(shù)叫作“簡單平均數(shù)”，把加權(quán)平均數(shù)叫作“較復(fù)雜的平均數(shù)”。在小學(xué)階段，權(quán)重主要指數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率。如果一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)都只出現(xiàn)一次，也就是每個數(shù)據(jù)的重要性相同，則計(jì)算的結(jié)果為算術(shù)平均數(shù)。所謂加權(quán)平均數(shù)，是指各個數(shù)據(jù)的“分

量”不同，有的重要些，有的輕些，將它們的重要性用權(quán)重表示，即一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)不止一次，則計(jì)算出的平均數(shù)就是加權(quán)平均數(shù)。例如：

①每千克奶糖15元，每千克水果糖10元，每千克巧克力糖20元，三種糖各1千克混合在一起，平均每千克多少元錢？

(15+10+20)÷3=15（元）

由于每種糖都是1千克，所以只需要簡單求和然后除以總質(zhì)量，所得結(jié)果就是算術(shù)平均數(shù)。

②每千克奶糖15元，每千克水果糖10元，每千克巧克力糖20元，將2千克奶糖，3千克水果糖和5千克巧克力糖混合在一起，平均每千克多少元錢？

(15x2+10x3+20x5)÷(2+3+5)=16（元）

由于每種糖所占的比重不相同，在計(jì)算平均數(shù)時就要加以考慮，所以按這種方法計(jì)算的結(jié)果就是加權(quán)平均數(shù)。

三．教學(xué)建議

平均數(shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)中的教學(xué)內(nèi)容，新課程改革明確“平均數(shù)”不再是單純的應(yīng)用題的類型之一，而是“作為一種統(tǒng)計(jì)量”。因此，在傳統(tǒng)教學(xué)強(qiáng)例平均數(shù)計(jì)算意義的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)進(jìn)一步突出概念意義和統(tǒng)計(jì)意義。

(1)經(jīng)歷所平均數(shù)產(chǎn)生的過程，感受平均數(shù)的作用

平均數(shù)作為一種重要的統(tǒng)計(jì)量，如何讓學(xué)生體會到它在統(tǒng)計(jì)中的作用呢？吳正憲老師在執(zhí)教“平均數(shù)”一課時，巧妙地運(yùn)用拍球比賽這一學(xué)生喜聞樂見的游戲形式，調(diào)動了游戲規(guī)則的生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生一個“不公平！”，否定了人數(shù)不同比拍球總個數(shù)定輸贏的方法?！斑@可怎么辦呢？”隨著吳老師的追問，一個胖胖的小男孩站起來伸開雙臂，結(jié)結(jié)巴巴地說：“把這兒個數(shù)勻乎勻乎，看看得幾，就能比較出來了?！眳抢蠋煂@個小男孩兒贊賞不已。是呀， 一個“勻乎勻乎”就使平均數(shù)應(yīng)運(yùn)而生了。

(2)通過具體數(shù)據(jù)分析，加深對平均數(shù)概念意義的理解

平均數(shù)本身是不能孤立存在的，因此要加強(qiáng)原始數(shù)據(jù)和平均數(shù)的溝通，通過建立聯(lián)系讓學(xué)生感受平均數(shù)的特點(diǎn)，加深對概念意義的理解。下面這個經(jīng)典案例同樣出現(xiàn)在吳正憲老師的課堂上：

“前三次小紅和小亮分別平均每人打兒環(huán)？可以怎么算呢？”（如下表）很多學(xué)生用打中總環(huán)數(shù)除以射擊次數(shù)，有個別學(xué)生想出了移多補(bǔ)少的方法。吳老師評價：“這樣的方法真好，一下子就讓我們看到了平均數(shù)真的能代表這些數(shù)據(jù)的水平！”吳老師繼續(xù)提問：“小紅第4槍打了7環(huán)，小強(qiáng)第4槍打10環(huán)，打了第4槍后，會不會影響前三次的平均數(shù)？”經(jīng)過一系列的思考，學(xué)生感受到加入一個數(shù)據(jù)以后，會對原平均數(shù)產(chǎn)生影響，感受到平均數(shù)和一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)有關(guān)的特點(diǎn)。

(3)結(jié)合具具體問題情境，客觀理解平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義

統(tǒng)計(jì)和生活緊密相關(guān)，在利用平均數(shù)分析問題時要和生活緊密聯(lián)系，以凸顯平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義。王杰老師在執(zhí)教“平均數(shù)”一課時，設(shè)計(jì)了這樣一個問題：周一至周五高峰時，平均每小時通過1號橋的車輛為1756輛，通過2號橋的車輛為965輛（兩個橋的跨度等條件差不多），那么駕車走哪條路會比較通暢？為什么？學(xué)生對此意見不同，展開爭論。最后王老師總結(jié)：平均數(shù)可以作為參考，但是它反映的只是一般情況，并不能反映出某種特殊情況。在這個過程中，學(xué)生既可以體會到平均數(shù)的意義，又可以體會到數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。

四．推薦閱讀

(1)《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》（張奠宙等，高等教育出版社，2009）

該書第220-222頁論述了加權(quán)平均數(shù)的作用和價值，以及與算術(shù)平均數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別。

(2)《吳正憲的兒童數(shù)學(xué)教育》（周玉仁、楊文榮，北京師范大學(xué)出版社，2010）

該書中的一些案例生動、具體，本詞條引用的案例主要來自該書。

(3)《回歸平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義》（曹培英，《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》，2011年第7-8期）

該文從平均數(shù)歷史回顧、練習(xí)的審視、新設(shè)計(jì)關(guān)注點(diǎn)等幾個角度詳細(xì)進(jìn)行了介紹，對廣大一線教師有一定的指導(dǎo)意義。