向量是線性代數中非常重要的概念之一，向量的運算是線性代數中的重要內容。向量的運算主要包括向量的加法、減法、數量積、向量積等。本文將詳細介紹向量的運算的所有公式。

一、向量的加法

向量的加法是指將兩個向量相加得到一個新向量的運算。向量的加法滿足交換律和結合律。

1. 兩向量相加的定義：

設向量a和向量b的起點相同，分別為點O，終點分別為點P和點Q，則向量a和向量b的和向量c為：c=a b，其起點為點O，終點為點R，R為向量a和向量b的終點所在的點。

2. 向量的加法滿足交換律和結合律：

交換律：a b=b a

結合律：(a b) c=a (b c)

二、向量的減法

向量的減法是指將一個向量減去另一個向量得到一個新向量的運算。向量的減法也滿足交換律和結合律。

1. 兩向量相減的定義：

設向量a和向量b的起點相同，分別為點O，終點分別為點P和點Q，則向量a和向量b的差向量c為：c=a-b，其起點為點O，終點為點R，R為向量a和向量-b的終點所在的點。

2. 向量的減法滿足交換律和結合律：

交換律：a-b=-(b-a)

結合律：(a-b) c=a-(b-c)

三、數量積

數量積又稱為點積或內積，是兩個向量的乘積的數量。數量積的結果是一個標量（即實數），數量積滿足交換律和分配律。

1. 兩向量的數量積的定義：

設向量a和向量b的夾角為θ，則向量a和向量b的數量積為：a·b=|a|·|b|·cosθ。

其中，|a|和|b|分別為向量a和向量b的模，θ為向量a和向量b的夾角。

2. 數量積滿足交換律和分配律：

交換律：a·b=b·a

分配律：(k·a)·b=k·(a·b)

四、向量積

向量積又稱為叉積或外積，是兩個向量的乘積的向量。向量積的結果是一個垂直于原來的兩個向量的向量，其大小等于原來兩個向量圍成的平行四邊形的面積。向量積滿足反交換律和分配律。

1. 兩向量的向量積的定義：

設向量a和向量b的夾角為θ，則向量a和向量b的向量積為：a×b=|a|·|b|·sinθ·n。

其中，|a|和|b|分別為向量a和向量b的模，θ為向量a和向量b的夾角，n為垂直于向量a和向量b的向量，并滿足右手法則。

2. 向量積滿足反交換律和分配律：

反交換律：a×b=-b×a

分配律：a×(b c)=a×b a×c

以上是向量的加法、減法、數量積、向量積的所有公式詳解。在計算向量的運算時，需要注意向量的方向和大小，以及角度的單位（弧度或角度）。同時，在實際應用中，還需要結合具體問題進行綜合分析和運用。