相關系數（Correlation coefficient）是用來衡量兩個變量之間相關程度的一個統計量。通俗的說，相關系數是用來刻畫兩個變量之間相互關聯關系的強度與方向的。本文將詳細介紹相關系數的定義、計算公式以及其在實際應用中的運用。

一、相關系數的定義

在數學和統計學中，相關系數通常用來描述兩個變量之間的線性關系。它的取值范圍通常在[-1,1]之間，其值越接近于1或-1，則表明兩個變量之間的線性關系越緊密。當相關系數為0時，則表明兩個變量之間不存在線性關系。

相關系數的正負號通常表明了兩個變量之間的方向關系。如果相關系數為正，則表明當一個變量變大時，另一個變量也隨之增加。反之，如果相關系數為負，則表明當一個變量變大時，另一個變量會減小。

相關系數通常使用 r 這個符號來表示，其計算公式如下：

r= (n∑xy-∑x∑y) ÷ ((n∑x^2-(∑x)^2)(n∑y^2-(∑y)^2))^1/2

其中，x和 y 分別代表兩個變量（或兩個賦值列），n代表數據樣本的數量，∑xy代表x和y對應的數據乘積之和，∑x和∑y分別表示x和y的數據之和，∑x^2與∑y^2分別代表x和y每個數據的平方和。

相關系數的值通常是[-1,1]之間的實數，當相關系數為 1 時，表明兩個變量之間的線性關系緊密、正相關；當相關系數為 0 時，表明兩個變量之間不存在線性關系或只存在很弱的線性關系；當相關系數為 -1 時，表明兩個變量之間的線性關系緊密，但是是負相關。

二、相關系數的計算方法

計算相關系數的方法根據給定數據的形式（原始數據或數據表）和數據集的大?。颖净蚩傮w）有所不同。在這里我們將詳細介紹兩種計算方法。

1、原始數據計算法

在原始數據計算法中，我們需要先計算兩個變量的均值，然后計算兩列數據的協方差，最后再用協方差除以兩個變量的標準差的乘積得到相關系數 r。

該方法的計算公式如下：

r = ∑(x- x') (y- y') ÷ [ (∑(x- x')^2∑(y- y')^2)^(1/2)]

其中，x和y分別表示兩個變量的數據集，x'和y'分別表示兩個變量的均值。

舉例來說，假如我們要計算一個公司的銷售額與廣告投入之間的相關系數。我們收集到了公司過去一段時間的銷售額和廣告費用（如下表所示）：

步驟1：計算兩個數據的均值：

x' = (100 110 105 120 115 125 130) / 7 = 114

y' = (50 55 60 72 68 75 80) / 7 = 64

步驟2：計算兩個數據的協方差

s = ∑(x- x') (y- y') ÷ (n - 1)

= [(100-114) × (50-64) (110-114) × (55-64) (105-114) × (60-64) (120-114) × (72-64)

(115-114) × (68-64) (125-114) × (75-64) (130-114) × (80-64)] /6 = 186.86

步驟3：計算標準差

sx =[(∑(x- x')^2)/(n-1)] ^1/2

=[((100-114)^2 (110-114)^2 (105-114)^2 (120-114)^2

(115-114)^2 (125-114)^2 (130-114)^2)/6]^(1/2)

= 9.83，

sy =[(∑(y- y')^2)/(n-1)]^1/2

=[((50-64)^2 (55-64)^2 (60-64)^2 (72-64)^2 (68-64)^2 (75-64)^2 (80-64)^2)/6]^(1/2)

= 8.77.

步驟 4：計算相關系數

r=s/（sx sy）= 0.95

從上面的數據計算結果來看，該公司的銷售額和廣告費用之間存在著很強的正相關性。

2、數據表計算法

在數據表計算法中，我們需要先計算每個變量的平均數和標準差，然后計算兩列數據的協方差，最后再用協方差除以兩個變量的標準差的乘積得到相關系數。計算公式如下：

r = cov(x,y) / (std(x) * std(y))

其中，cov(x,y)代表兩個變量的協方差，std(x)和std(y)分別代表兩個變量的標準差。

三、相關系數的應用

相關系數在統計學上的應用極其廣泛，對數據分析有重要的幫助。有以下幾個方面的應用：

1、判斷變量之間的相關性

通過計算相關系數，我們可以確定兩個變量之間的相關性。如果相關系數大于0，表明兩個變量之間存在正相關關系；如果相關系數小于0，則表明兩個變量之間存在負相關關系；如果相關系數等于0，則表明兩個變量之間不存在線性相關關系。

2、用于多元回歸和線性回歸分析

在多元回歸和線性回歸分析中，相關系數可以用來判斷自變量和因變量之間的關系。例如，我們可以使用相關系數來判斷傳統電視廣告投入與電視機收視人數之間的相關性，以及這兩個因素如何對銷售額產生影響。

3、用于探索性數據分析

相關系數也有助于探索性數據分析，可以幫助觀察員們了解變量之間的相互關系，從而有助于數據分析員們發現新的變量之間的關系，尤其是那些不容易被發現的變量。