相關(guān)系數(shù)（Correlation coefficient）是用來衡量兩個變量之間相關(guān)程度的一個統(tǒng)計量。通俗的說，相關(guān)系數(shù)是用來刻畫兩個變量之間相互關(guān)聯(lián)關(guān)系的強度與方向的。本文將詳細介紹相關(guān)系數(shù)的定義、計算公式以及其在實際應(yīng)用中的運用。

一、相關(guān)系數(shù)的定義

在數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)中，相關(guān)系數(shù)通常用來描述兩個變量之間的線性關(guān)系。它的取值范圍通常在[-1,1]之間，其值越接近于1或-1，則表明兩個變量之間的線性關(guān)系越緊密。當相關(guān)系數(shù)為0時，則表明兩個變量之間不存在線性關(guān)系。

相關(guān)系數(shù)的正負號通常表明了兩個變量之間的方向關(guān)系。如果相關(guān)系數(shù)為正，則表明當一個變量變大時，另一個變量也隨之增加。反之，如果相關(guān)系數(shù)為負，則表明當一個變量變大時，另一個變量會減小。

相關(guān)系數(shù)通常使用 r 這個符號來表示，其計算公式如下：

r= (n∑xy-∑x∑y) ÷ ((n∑x^2-(∑x)^2)(n∑y^2-(∑y)^2))^1/2

其中，x和 y 分別代表兩個變量（或兩個賦值列），n代表數(shù)據(jù)樣本的數(shù)量，∑xy代表x和y對應(yīng)的數(shù)據(jù)乘積之和，∑x和∑y分別表示x和y的數(shù)據(jù)之和，∑x^2與∑y^2分別代表x和y每個數(shù)據(jù)的平方和。

相關(guān)系數(shù)的值通常是[-1,1]之間的實數(shù)，當相關(guān)系數(shù)為 1 時，表明兩個變量之間的線性關(guān)系緊密、正相關(guān)；當相關(guān)系數(shù)為 0 時，表明兩個變量之間不存在線性關(guān)系或只存在很弱的線性關(guān)系；當相關(guān)系數(shù)為 -1 時，表明兩個變量之間的線性關(guān)系緊密，但是是負相關(guān)。

二、相關(guān)系數(shù)的計算方法

計算相關(guān)系數(shù)的方法根據(jù)給定數(shù)據(jù)的形式（原始數(shù)據(jù)或數(shù)據(jù)表）和數(shù)據(jù)集的大?。颖净蚩傮w）有所不同。在這里我們將詳細介紹兩種計算方法。

1、原始數(shù)據(jù)計算法

在原始數(shù)據(jù)計算法中，我們需要先計算兩個變量的均值，然后計算兩列數(shù)據(jù)的協(xié)方差，最后再用協(xié)方差除以兩個變量的標準差的乘積得到相關(guān)系數(shù) r。

該方法的計算公式如下：

r = ∑(x- x') (y- y') ÷ [ (∑(x- x')^2∑(y- y')^2)^(1/2)]

其中，x和y分別表示兩個變量的數(shù)據(jù)集，x'和y'分別表示兩個變量的均值。

舉例來說，假如我們要計算一個公司的銷售額與廣告投入之間的相關(guān)系數(shù)。我們收集到了公司過去一段時間的銷售額和廣告費用（如下表所示）：

步驟1：計算兩個數(shù)據(jù)的均值：

x' = (100 110 105 120 115 125 130) / 7 = 114

y' = (50 55 60 72 68 75 80) / 7 = 64

步驟2：計算兩個數(shù)據(jù)的協(xié)方差

s = ∑(x- x') (y- y') ÷ (n - 1)

= [(100-114) × (50-64) (110-114) × (55-64) (105-114) × (60-64) (120-114) × (72-64)

(115-114) × (68-64) (125-114) × (75-64) (130-114) × (80-64)] /6 = 186.86

步驟3：計算標準差

sx =[(∑(x- x')^2)/(n-1)] ^1/2

=[((100-114)^2 (110-114)^2 (105-114)^2 (120-114)^2

(115-114)^2 (125-114)^2 (130-114)^2)/6]^(1/2)

= 9.83，

sy =[(∑(y- y')^2)/(n-1)]^1/2

=[((50-64)^2 (55-64)^2 (60-64)^2 (72-64)^2 (68-64)^2 (75-64)^2 (80-64)^2)/6]^(1/2)

= 8.77.

步驟 4：計算相關(guān)系數(shù)

r=s/（sx sy）= 0.95

從上面的數(shù)據(jù)計算結(jié)果來看，該公司的銷售額和廣告費用之間存在著很強的正相關(guān)性。

2、數(shù)據(jù)表計算法

在數(shù)據(jù)表計算法中，我們需要先計算每個變量的平均數(shù)和標準差，然后計算兩列數(shù)據(jù)的協(xié)方差，最后再用協(xié)方差除以兩個變量的標準差的乘積得到相關(guān)系數(shù)。計算公式如下：

r = cov(x,y) / (std(x) * std(y))

其中，cov(x,y)代表兩個變量的協(xié)方差，std(x)和std(y)分別代表兩個變量的標準差。

三、相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用

相關(guān)系數(shù)在統(tǒng)計學(xué)上的應(yīng)用極其廣泛，對數(shù)據(jù)分析有重要的幫助。有以下幾個方面的應(yīng)用：

1、判斷變量之間的相關(guān)性

通過計算相關(guān)系數(shù)，我們可以確定兩個變量之間的相關(guān)性。如果相關(guān)系數(shù)大于0，表明兩個變量之間存在正相關(guān)關(guān)系；如果相關(guān)系數(shù)小于0，則表明兩個變量之間存在負相關(guān)關(guān)系；如果相關(guān)系數(shù)等于0，則表明兩個變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系。

2、用于多元回歸和線性回歸分析

在多元回歸和線性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)可以用來判斷自變量和因變量之間的關(guān)系。例如，我們可以使用相關(guān)系數(shù)來判斷傳統(tǒng)電視廣告投入與電視機收視人數(shù)之間的相關(guān)性，以及這兩個因素如何對銷售額產(chǎn)生影響。

3、用于探索性數(shù)據(jù)分析

相關(guān)系數(shù)也有助于探索性數(shù)據(jù)分析，可以幫助觀察員們了解變量之間的相互關(guān)系，從而有助于數(shù)據(jù)分析員們發(fā)現(xiàn)新的變量之間的關(guān)系，尤其是那些不容易被發(fā)現(xiàn)的變量。