時間反演對稱是指如果我們把一個物理系統的運動倒過來，那么它仍然遵循相同的物理定律。例如，如果我們把一個彈簧振子的運動錄像倒放，我們看到的仍然是一個彈簧振子在做簡諧運動。這就是時間反演對稱的一個例子。

但是，并不是所有的物理系統都具有時間反演對稱。有些系統在非平衡態下運行，也就是說，它們不斷地從外界吸收或釋放能量，導致它們的狀態發生持續的變化。例如，如果我們把一杯熱咖啡放在桌子上，它會慢慢地冷卻，直到達到室溫。這個過程是不可逆的，也就是說，如果我們把錄像倒放，我們看到的不再是一個物理合理的過程。這就是時間反演對稱被破壞的一個例子。

那么，為什么有些系統具有時間反演對稱，而有些系統沒有呢？這和熵有關。熵是一種衡量系統無序程度的物理量，它和第二定律有關。第二定律告訴我們，在一個孤立系統中，熵總是不會減少的。也就是說，系統總是傾向于變得更加無序和混亂。當一個系統處于平衡態時，它的熵達到最大值，也就是最無序的狀態。在這種情況下，系統具有時間反演對稱，因為無論我們如何改變時間方向，系統都保持在同樣的狀態。但是，當一個系統處于非平衡態時，它的熵還沒有達到最大值。在這種情況下，系統不具有時間反演對稱，因為改變時間方向會導致系統的熵變化。(www.wS46.com)

那么，如何量化時間反演對稱被破壞的程度呢？這就要用到隨機熱力學的工具了。隨機熱力學是一門研究微觀或介觀尺度上非平衡態系統動力學和統計性質的學科。它可以用隨機變量來描述系統中各種物理量或狀態變量的波動和流動。例如，在一個電路中，電流和電壓就是兩個重要的物理量，它們之間存在著線性關系：電流等于電阻乘以電壓。這個關系可以用歐姆定律來表達：I=VR。

但是，在微觀或介觀尺度上，電流和電壓并不是恒定不變的量，而是隨著時間而波動的量。這些波動可以用隨機過程來描述：I(t)=I δI(t)，V(t)=V δV(t)。這里I和V表示平均值或期望值，δI(t)和δV(t)表示波動或偏差。這些波動的統計性質可以用相關函數來表征：CIV(τ)=?δI(t)δV(t τ)?，CVI(τ)=?δV(t)δI(t τ)?. 這里??表示平均或期望，τ表示時間延遲。相關函數反映了兩個物理量之間的相關性，也就是說，一個物理量在某一時刻的值會影響另一個物理量在稍后時刻的值。

當系統處于平衡態時，相關函數具有時間反演對稱，也就是說，CIV(τ)=CVI(?τ). 這個性質可以用昂薩格的互易關系來表達：LIV=LVI. 這里LIV和LVI表示連接電流和電壓的線性系數，它們可以用相關函數在τ=0時的值來定義：LIV=CIV(0)，LVI=CVI(0). 昂薩格的互易關系告訴我們，在平衡態下，電流對電壓的影響和電壓對電流的影響是相同的。

但是，當系統處于非平衡態時，相關函數不再具有時間反演對稱，也就是說，CIV(τ)≠CVI(?τ). 這個性質可以用昂薩格的互易關系被破壞來表達：LIV≠LVI. 這意味著，在非平衡態下，電流對電壓的影響和電壓對電流的影響是不同的。這種不對稱性反映了系統中存在著熱力學力，也就是說，系統不斷地從外界吸收或釋放能量，導致系統的熵產生或消耗。熱力學力可以用熵產生率來定義：σ=?I(t)V(t)?/T。這里T表示溫度。熵產生率反映了系統中能量轉化為熵的速率。

那么，時間反演對稱被破壞的程度和熱力學力之間有什么關系呢？研究人員發現了一個不等式，它把相關函數的不對稱性和熱力學力聯系起來了：|CIV(τ)?CVI(?τ)|≤2σ|τ|. 這個不等式告訴我們，在非平衡態下，相關函數的不對稱性是有上限的，而且這個上限正比于熱力學力和時間延遲的乘積。這個不等式是一個普遍成立的結果，它適用于任何非平衡態系統，并且不依賴于具體的模型或參數。

這個不等式有什么意義呢？它意味著，在非平衡態下，我們可以通過測量兩個物理量之間的相關函數來估計系統中存在著多大的熱力學力。這對于實驗上觀察和控制非平衡態系統有重要的指導作用。另一方面，它也意味著，在非平衡態下，我們不能任意地調節兩個物理量之間的相關函數，因為它們受到了一個基本限制。這對于理論上設計和優化非平衡態系統有重要的啟示作用。