傅里葉變換是一種數學工具，可以把一個函數從一個域轉換到另一個域。這樣做的好處是，我們可以從不同的角度來觀察和分析一個函數的性質。比如，我們可以用傅里葉變換來把一個復雜的波形分解成若干個簡單的正弦波，或者用傅里葉變換來把一個音樂信號從時間域轉換到頻率域，從而得到它的音調和節奏等信息。

那么，分數傅里葉變換是什么呢？分數傅里葉變換可以看作是傅里葉變換的推廣，它不僅可以把一個函數從時域轉換到頻域，還可以把它轉換到任意角度的中間域。這樣做的好處是，我們可以更靈活地選擇最適合觀察和分析一個函數的角度。比如，我們可以用分數傅里葉變換來把一個波形旋轉到最清晰或最模糊的角度，或者用分數傅里葉變換來把一個音樂信號旋轉到最容易或最難識別的角度。

分數傅里葉變換也可以看作是一種線性變換，它把一個函數在一個正交基下的坐標轉換成在另一個正交基下的坐標。這兩個正交基之間有一個夾角，這個夾角就是分數傅里葉變換的參數。如果我們把這個過程用幾何語言來描述，就相當于把一個向量（函數）在一個坐標系下的投影旋轉到另一個坐標系下的投影。這個旋轉可以用一個矩陣來表示，這個矩陣就是分數傅里葉變換矩陣。

那么，如何實現分數傅里葉變換呢？在數學上，我們可以用一些公式來計算分數傅里葉變換矩陣，然后用它來對函數進行變換。但是，在物理上，我們如何對光信號進行分數傅里葉變換呢？科學家提出了一種利用雙光脈沖（也稱為“薛定諤的貓”狀態）的分數傅里葉變換的實現。

原子量子光學存儲系統是一種利用原子介質來存儲和處理光信號的系統。它的原理是，當一束光信號（控制光）和一個原子介質（比如一個氣體或一個晶體）相互作用時，會產生一種稱為電磁感應透明性的效應，使得原子介質對另一束光信號（信號光）的吸收減弱，從而使信號光可以在原子介質中傳播。同時，控制光和信號光之間會產生一種稱為自旋波的量子關聯，使得信號光的信息可以轉移到原子介質的自旋態上，從而實現光信號的存儲。當控制光再次打開時，信號光的信息可以從原子介質的自旋態上轉移回來，從而實現光信號的讀出。

研究人員利用了這種系統的一個特點，就是控制光和信號光之間的相位差可以影響自旋波的形成和讀出。他們設計了一種方法，通過對控制光和信號光施加可編程的頻譜相位和時間相位，實現了在時頻域對信號光進行分數傅里葉變換。他們用一個高速相位調制器來對控制光施加頻譜相位，用一個聲光調制器來對信號光施加時間相位。他們證明了這種方法可以實現任意角度的分數傅里葉變換，并且可以通過改變相位模式來動態調節變換角度。

研究人員還用一種稱為時頻域Wigner函數的方法來驗證了他們的實驗結果。Wigner函數是一種描述函數在時頻域中的分布和相干性的函數，它可以看作是函數在時頻域中的概率密度函數。研究人員用一個高靈敏度的同步檢測器來測量信號光在不同時間和頻率下的幅度和相位，并用這些數據來重構出時頻域Wigner函數。他們發現，當他們改變分數傅里葉變換的角度時，時頻域Wigner函數也隨之旋轉，并且與理論預測吻合得很好。

科學家指出，他們的方法有很多潛在的應用，比如實現時頻域中的模式分選、處理和超分辨率參數估計等。他們認為，他們的方法為利用時頻域中的信息提供了一種新穎而有效的方式，并為量子和經典通信、傳感和計算等領域開辟了新的可能性。