玻色子和費(fèi)米子是種特殊類(lèi)型的難以區(qū)分的粒子，這意味著如果我們?cè)谝粋€(gè)特定的系統(tǒng)中，有兩種相同類(lèi)型的玻色子，我們絕對(duì)沒(méi)有辦法區(qū)分這兩種粒子。這對(duì)這些粒子的行為有非常重要的影響，我們可以通過(guò)波函數(shù)來(lái)理解這種不可區(qū)分性的影響。

波函數(shù)基本上可以被認(rèn)為是一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)，它包含我們所知道的關(guān)于量子系統(tǒng)的所有信息。例如，如果這個(gè)系統(tǒng)僅由一個(gè)電子組成，那么根據(jù)系統(tǒng)的波函數(shù)，我們可以計(jì)算在空間中不同點(diǎn)找到該電子的概率。具體來(lái)說(shuō)，如果我們對(duì)任何波函數(shù)取其平方模數(shù)，那么它與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的概率直接相關(guān)。

我們現(xiàn)在考慮兩個(gè)無(wú)法區(qū)分的粒子，并且我們采用該系統(tǒng)的波函數(shù)并對(duì)其進(jìn)行平方。如果我們交換粒子A和B，波函數(shù)的平方應(yīng)該看起來(lái)完全相同，因?yàn)槲覀儾粦?yīng)該有任何方法知道哪個(gè)粒子是哪個(gè)。而如果我們交換這些粒子時(shí)波函數(shù)平方不相等，那么我們就可以區(qū)別這兩個(gè)粒子。也就是該波函數(shù)的平方必須以這樣的方式表現(xiàn)：|ψ(A,B)|2=|ψ(B,A)|2。

然后我們?nèi)∵@個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式的平方根，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，方向?yàn)锳,B的粒子波函數(shù)要么完全等于方向B,A的波函數(shù)，要么等于方向B,A的波函數(shù)前再加一個(gè)負(fù)號(hào)，即ψ(A,B)=±ψ(B,A)。所以我們?cè)谶@里發(fā)現(xiàn)波函數(shù)代表兩種不同類(lèi)別的粒子：具有ψ(A,B)= ψ(B,A)波函數(shù)行為的粒子稱(chēng)為玻色子，具有ψ(A,B)=-ψ(B,A)波函數(shù)行為的粒子稱(chēng)為費(fèi)米子。

基本上，我們會(huì)說(shuō)玻色子在粒子交換下是對(duì)稱(chēng)的，意思是當(dāng)我們交換粒子時(shí)波函數(shù)是相同的。而對(duì)于費(fèi)米子，我們說(shuō)波函數(shù)是反對(duì)稱(chēng)的，意味著當(dāng)我們交換粒子時(shí)波函數(shù)變?yōu)樨?fù)值。對(duì)稱(chēng)波函數(shù)與反對(duì)稱(chēng)波函數(shù)是玻色子和費(fèi)米子之間差異的關(guān)鍵，我們將重點(diǎn)關(guān)注。

我們現(xiàn)在假設(shè)兩個(gè)粒子都是玻色子，它們可以占據(jù)兩個(gè)不同的能級(jí)，標(biāo)記為0的能級(jí)是基態(tài)能級(jí)，標(biāo)記為1的能級(jí)是稍高的能級(jí)。我們可以計(jì)算出系統(tǒng)中可能的波函數(shù)是什么樣的，例如它可能看起來(lái)像這樣：ψ=|0>|0>。當(dāng)我們交換粒子時(shí)，這確實(shí)是一個(gè)對(duì)稱(chēng)波函數(shù)。這實(shí)際上意味著如果我們的兩個(gè)粒子確實(shí)是玻色子，它們可以占據(jù)相同的狀態(tài)。我們還可以構(gòu)造另外兩個(gè)波函數(shù)，它們看起來(lái)像這樣：ψ=|0>|0>和ψ=|0>|1> |1>|0>。

如果我們的兩個(gè)粒子是費(fèi)米子，那么情況就不一樣了。當(dāng)我們交換粒子時(shí)，波函數(shù)必須變?yōu)樨?fù)值。對(duì)于這種特殊的系統(tǒng)，波函數(shù)最終只能是這樣：ψ=|0>|1>-|1>|0>。在這個(gè)系統(tǒng)中，費(fèi)米子波函數(shù)只有這樣時(shí)，我們交換兩個(gè)粒子時(shí)波函數(shù)才會(huì)變?yōu)樨?fù)值。

重要的是要注意這樣一個(gè)事實(shí)，當(dāng)我們對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)量時(shí)，兩個(gè)粒子在此波函數(shù)中不能處于相同狀態(tài)。我們只能發(fā)現(xiàn)粒子A處于能級(jí)0和B在能級(jí)1，或者粒子A處于能級(jí)1和B在能級(jí)0。這與我們之前在兩個(gè)玻色子系統(tǒng)中看到的不同，這是非常重要的玻色子和費(fèi)米子之間的區(qū)別。

我們可以將這種邏輯擴(kuò)展到多玻色子系統(tǒng)和多費(fèi)米子系統(tǒng)。所有這些玻色子基本上都可以塌縮成一個(gè)能級(jí)，而費(fèi)米子則不能這樣做，它們必須占據(jù)不同的能級(jí)。

舉一個(gè)費(fèi)米子的例子，原子周?chē)碾娮硬粫?huì)全部塌陷到最低可用能級(jí)或任何一個(gè)能級(jí)。電子是費(fèi)米子，我們看到隨著原子核周?chē)娮訑?shù)量的增加，電子必須占據(jù)越來(lái)越高的能級(jí)，因?yàn)檩^低的能級(jí)已被完全占據(jù)。當(dāng)然在這里我忽略了自旋這一小問(wèn)題，它實(shí)際上是允許兩個(gè)自旋相反的電子處于相同能級(jí)。

回到我們的玻色子，它們都可以占據(jù)相同的能級(jí)，這一事實(shí)就允許我們有一種由玻色子組成的密度相當(dāng)?shù)偷臍怏w。并且當(dāng)我們將其冷卻到足夠低的溫度時(shí)，通常會(huì)發(fā)生愛(ài)因斯坦凝聚，所有這些玻色子都會(huì)塌縮到一個(gè)最低能級(jí)，這就是玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體。

當(dāng)我們有玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體時(shí)，我們往往會(huì)看到一些相當(dāng)有趣的效應(yīng)，科學(xué)家們經(jīng)常喜歡將其描述為能夠在宏觀層面上看到的量子力學(xué)效應(yīng)。而通常量子效應(yīng)很難看到，它們僅限于小得多的尺度，但對(duì)于玻色-愛(ài)因斯坦凝聚，許多量子力學(xué)效應(yīng)變得顯而易見(jiàn)，例如已經(jīng)觀察到超流性。