薛定諤方程被廣泛認(rèn)為是量子物理學(xué)中最重要的方程之一。對于我們正在研究的任何系統(tǒng)，它可以描述當(dāng)我們對其進(jìn)行測量時發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)處于不同狀態(tài)的概率，并且它還可以研究這些概率如何隨著時間的推移而變化。

盡管薛定諤方程是一個極其有用的方程，但它也有局限性：它沒有考慮愛因斯坦狹義相對論等重要理論。因此在本文中，我們將看到兩個升級后的方程，它們包含了其他重要的物理理論，比薛定諤方程更復(fù)雜。

首先讓我們談?wù)勓Χㄖ@方程及其告訴我們的內(nèi)容。假設(shè)我們正在研究一個簡單的系統(tǒng)（例如單個電子），波函數(shù)ψ允許我們找出有關(guān)電子的信息，例如我們可以計算出找到電子在不同位置的可能性有多大。

但我們要知道的重要一點是，薛定諤方程不是一個包含狹義相對論的波動方程。當(dāng)物體相對于彼此移動非常快時，就會開始出現(xiàn)一些有趣的效應(yīng)，例如從一個物體的角度來看，另一個物體的時間以不同的速率流逝。薛定諤方程并沒有考慮到這些影響，它對待時間的方式也與對待空間的方式非常不同。而在相對論中，時間和空間是被平等對待的。

看待薛定諤方程的一種方法是：對于任何具有質(zhì)量的物體，其動能可以用動量p來寫這個項E_K=p2/2m，然后我們可以將物體所經(jīng)歷的任何勢能V添加到其中。因此，薛定諤方程說的是，物體的動能加上它的勢能等于它的總能量。

所以如果我們想將狹義相對論的影響納入方程中，那么我們要從愛因斯坦著名的質(zhì)能方程開始：E=mc2。這個方程告訴我們，一個物體由給定的質(zhì)量構(gòu)成時有多少能量。但這個方程并不好用，它只處理不移動的物體。這個方程更具體的版本是這樣的：E2=(m?c2)2 (pc)2，它包含了物體具有的動量。

利用這個更為具體的方程，然后我們進(jìn)行一些數(shù)學(xué)運算，我們可以得到這樣的方程：(?2 μ2)ψ=0。這被稱為克萊因-戈登方程，該方程融入了狹義相對論。這個ψ在克萊因-戈登方程中的含義與在薛定諤方程中的含義并不完全相同。在薛定諤方程中，我們將ψ解釋為與測量結(jié)果相關(guān)的概率。但在克萊因-戈登方程中，這個量實際上被解釋為代表電荷密度， 這個方程告訴我們帶正、負(fù)或零電荷的粒子的相對論和量子行為。

克萊因-戈登方程的有趣之處在于，盡管它是將狹義相對論和量子力學(xué)結(jié)合成一個簡潔方程的第一步，但它也有局限性，因為它沒有考慮稱為自旋的粒子屬性。自旋是粒子可以擁有的量，就像電荷和質(zhì)量一樣，它是粒子自然具有多少角動量的度量，即使它沒有真正旋轉(zhuǎn)。

克萊因-戈登方程不考慮自旋，或者更準(zhǔn)確地說，它只對于自旋為零的粒子起作用 。為了解釋自旋，我們需要另一個方程，它本質(zhì)上也是量子力學(xué)和狹義相對論結(jié)合的方程，它就是著名但非常難以理解的狄拉克方程。

狄拉克方程基本上是克萊因-戈登方程的平方根，換句話說，如果你把狄拉克方程平方，你就得到克萊因-戈登方程。那么，為什么兩者是平方關(guān)系，一個可以解釋自旋，另一個卻無法解釋呢？這是因為平方后實際上丟失了信息。(www.ws46.com)

我們舉一個簡單的例子進(jìn)行類比。這就像負(fù)-2的平方和 2的平方，兩者都給了我們相同的結(jié)果。但當(dāng)我們查看這個結(jié)果時，我們丟失了原始值，我們不知道是對負(fù)2求平方還是對正2求平方才得到該值。類似的方式，狄拉克方程包含有關(guān)自旋的信息，這些信息在進(jìn)入克萊因-戈登方程時會丟失。這是一個非常膚淺的解釋，但它確實給了我們一個很好的感覺，很好地類比了狄拉克和克萊因-戈登方程如何相互關(guān)聯(lián)。

現(xiàn)在，狄拉克方程可以處理自旋為二分之一粒子，如質(zhì)子、中子和電子，這些粒子構(gòu)成了我們可以觀察到的大部分粒子。狄拉克方程還在其ψ中引入了一些額外的自由度，這次ψ有四個分量。其中兩個分量與我們在薛定諤方程中使用的ψ非常相似 ，另外兩個自由度包含以量子和相對論方式表現(xiàn)的所有額外粒子信息。

狄拉克方程還預(yù)測了具有相同質(zhì)量的粒子的存在，但具有完全相反的電荷。例如，電子通常具有給定的質(zhì)量和-1單位的電荷，而狄拉克方程表示存在具有相同質(zhì)量但 1個單位電荷的粒子。起初，狄拉克認(rèn)為這是他的數(shù)學(xué)錯誤，因為他的方程沒有足夠的約束。但后來事實證明，這些粒子確實存在，我們稱它們?yōu)榉次镔|(zhì)。