分數統計是一種描述粒子交換對波函數相位的影響的統計規律，它是一種介于玻色-愛因斯坦統計和費米-狄拉克統計之間的一般化統計，它可以適用于一些非常規的粒子，如任意子。

我們現在考慮兩個無法區分的粒子，并且我們采用該系統的波函數并對其進行平方。如果我們交換粒子A和B，波函數的平方應該看起來完全相同，因為我們不應該有任何方法知道哪個粒子是哪個。而如果我們交換這些粒子時波函數平方不相等，那么我們就可以區別這兩個粒子。也就是該波函數的平方必須以這樣的方式表現：|ψ(A,B)|2=|ψ(B,A)|2。

然后我們取這個數學表達式的平方根，我們會發現，方向為A,B的粒子波函數要么完全等于方向B,A的波函數，要么等于方向B,A的波函數前再加一個負號，即ψ(A,B)=±ψ(B,A)。所以我們在這里發現波函數代表兩種不同類別的粒子：具有ψ(A,B)= ψ(B,A)波函數行為的粒子稱為玻色子，具有ψ(A,B)=-ψ(B,A)波函數行為的粒子稱為費米子。

然而，在某些情況下，粒子交換會導致波函數的相位變化，而不僅僅是正負號的變化，這就是分數統計的情形。分數統計可以用一個參數來描述，即交換參數α。實際上，當我們對波函數的平方開根號時，我們得到的是ψ(A,B)=e^{iπα}ψ(B,A)。也就是說，當兩個粒子交換時，波函數會乘以一個復數因子e^iπα。當α=0時，波函數不變，這對應于玻色-愛因斯坦統計；當α=1時，波函數變號，這對應于費米-狄拉克統計；當0<α<1時，波函數既變號又變相位，這就是分數統計。

也就是說，玻色-愛因斯坦統計和費米-狄拉克統計是兩種極端的情況，它們分別適用于玻色子和費米子。玻色子是一種可以任意聚集在同一個量子態的粒子，如光子和聲子。費米子是一種遵循泡利不相容原理的粒子，即同一個量子態最多只能有一個粒子占據，如電子和質子。玻色-愛因斯坦統計和費米-狄拉克統計都假設粒子交換不會改變波函數的相位，只會改變波函數的正負號。

分數統計在物理學中有很多重要的應用和實例。在1977年，Jon Magne Leinaas和Jan Myrheim假設在二維空間中存在一種奇特的粒子叫做任意子，它就具有分數統計。任意子只存在于二維空間中，因為在三維空間中，粒子的交換可以通過連續的旋轉來實現，而不會改變波函數的相位。

任意子的存在是量子霍爾效應的一個重要結果，它是一種強磁場下二維電子氣的新奇物態。在量子霍爾效應中，電子氣被限制在二維平面內，并形成了一種拓撲有序相，即量子霍爾液體。量子霍爾液體中存在一些激發態，它們可以被視為任意子。這些任意子可以攜帶分數電荷和分數統計，并且可以與其他任意子發生相互作用。

任意子有很多令人著迷的性質和應用。例如，任意子可以實現拓撲量子計算，這是一種利用拓撲不變量來保護量子信息的計算模型。任意子也可以用來構造新穎的凝聚態物理模型，如分數量子霍爾效應和非阿貝爾量子霍爾效應。任意子還可以用來研究高溫超導和強關聯電子系統等前沿問題。