暴漲是宇宙早期的一段快速膨脹的時期，它可以解決宇宙學的一些難題，比如平坦性問題和視界問題。暴漲的物理機制通常是由一個或多個標量場驅動的，這些標量場稱為暴漲場。暴漲場的動力學可以用一個勢能函數來描述，不同的勢能函數對應不同的暴漲模型。

暴漲模型可以通過觀測宇宙微波背景輻射（CMB）的溫度和偏振漲落來檢驗，這些漲落是由暴漲場的量子漲落在暴漲結束后被拉伸到宏觀尺度所產生的。CMB的觀測給出了暴漲場的原初標量擾動的功率譜的一些約束，比如功率譜的振幅、譜指數和張性等。

然而，CMB的觀測只能探測到暴漲場在大尺度上的行為，而不能探測到暴漲場在小尺度上的行為。在小尺度上，暴漲場可能有一些非常有趣的現象，比如超慢滾（USR）暴漲。USR暴漲是一種暴漲場的速度非常小，而加速度非常大的情況，這種情況下，暴漲場的原初標量擾動的功率譜會呈現出指數增長的特征，這意味著在小尺度上，原初標量擾動的振幅會非常大。這種情況可以由一些特殊的勢能函數來實現，比如一個具有平臺的勢能函數，或者一個具有拐點的勢能函數。

USR暴漲的一個重要的后果是，它可以產生一個隨機引力波背景（SGWB），這是由于標量場和張量場在愛因斯坦方程的二階展開中的耦合所導致的。這個SGWB的頻率可以達到納赫茲的量級，這正是脈沖星計時陣列（PTA）實驗可以探測到的頻段。PTA實驗是利用一組穩定的毫秒脈沖星作為時鐘，通過測量它們的到達時間來尋找引力波的信號。如果存在一個SGWB，它會引起脈沖星之間的相關的時間延遲，這就是PTA實驗探測引力波的原理。

最近，NANOGrav合作組發布了他們的15年的數據（NG15），并報告了一個可能的SGWB的信號，這引起了人們的廣泛關注。這個信號的來源還不清楚，有可能是由一些天體物理的過程產生的，比如并合的超大質量黑洞二元系統，或者是由一些宇宙學的過程產生的，比如宇宙相變的氣泡碰撞，或者是USR暴漲產生的SGWB。在一篇論文中，研究人員對USR暴漲產生的SGWB進行了研究，發現它可以解釋NG15的數據，并給出了一些參數的約束。

為了研究USR暴漲產生的SGWB，首先要計算原初標量擾動的功率譜，這可以通過求解暴漲場的微擾方程來得到。在USR暴漲的情況下，暴漲場的微擾方程可以近似為一個諧振子方程，其解可以寫成一個貝塞爾函數。在暴漲結束后，原初標量擾動會在視界再入時轉化為曲率擾動，這時可以定義一個轉化系數，它取決于暴漲場的速度和加速度。因此，原初標量擾動的功率譜可以寫成一個貝塞爾函數乘以一個轉化系數的形式，它的形狀大致是一個鐘形曲線，其峰值和寬度取決于暴漲場的參數。

接下來，要計算由原初標量擾動產生的SGWB的功率譜，這可以通過使用愛因斯坦方程的二階展開來得到。在這個展開中，標量場和張量場之間有一個耦合項，它正比于原初標量擾動的平方。因此，SGWB的功率譜可以寫成原初標量擾動的功率譜的平方乘以一個系數的形式，這個系數取決于宇宙的背景演化。在計算中，研究人員假設在USR暴漲之后，宇宙經歷了一個輻射為主的時期，然后是一個物質為主的時期，最后是一個暗能量為主的時期。我們還假設USR暴漲發生在暴漲的最后階段，即在暴漲結束前的一段時間內。

最后，我們要將USR暴漲產生的SGWB的功率譜與NG15的數據進行比較，這可以通過使用貝葉斯統計方法來實現。我們使用了一個馬爾可夫鏈蒙特卡羅（MCMC）算法來探索USR暴漲模型的參數空間，并計算了后驗概率分布。結果顯示，USR暴漲產生的SGWB可以很好地擬合NG15的數據，并給出了原初標量擾動的功率譜的振幅和峰值位置的約束。

為了評估USR暴漲模型的優劣，研究人員還計算了最大的對數似然值，并將其與其他可能的SGWB的來源進行了比較，比如宇宙相變的氣泡碰撞，或者并合的超大質量黑洞二元系統。我們發現，USR暴漲產生的SGWB的最大的對數似然值比并合的超大質量黑洞二元系統產生的SGWB的最大的對數似然值要大，這意味著USR暴漲產生的SGWB可以更好地解釋NG15的數據。

然而，USR暴漲產生的SGWB的最大的對數似然值比宇宙相變的氣泡碰撞產生的SGWB的最大的對數似然值要小，這意味著宇宙相變的氣泡碰撞產生的SGWB可以更好地解釋NG15的數據。因此，我們不能完全排除其他可能的SGWB的來源，需要更多的數據和分析來確定SGWB的真正的物理起源。