17個立體幾何證明（世界上第二美麗的等式）

發(fā)布時間：2024-09-19閱讀(17)

導讀我寫過很多關于歐拉恒等式的文章，可以說它是世界上最美的等式本文是關于多面體歐拉定理的每當我開始寫一篇關于數(shù)學的文章時，我的大腦告訴我這篇文章是由萊昂哈德·歐....

我寫過很多關于歐拉恒等式的文章，可以說它是世界上最美的等式本文是關于多面體歐拉定理的每當我開始寫一篇關于數(shù)學的文章時，我的大腦告訴我這篇文章是由萊昂哈德·歐拉“贊助”的歐拉幾乎在數(shù)學的任何一個領域都有所貢獻，我來為大家科普一下關于17個立體幾何證明?下面希望有你要的答案，我們一起來看看吧!

17個立體幾何證明

我寫過很多關于歐拉恒等式的文章，可以說它是世界上最美的等式。本文是關于多面體歐拉定理的。每當我開始寫一篇關于數(shù)學的文章時，我的大腦告訴我這篇文章是由萊昂哈德·歐拉“贊助”的。歐拉幾乎在數(shù)學的任何一個領域都有所貢獻。

歐拉示性數(shù)（The Euler characteristic），一個拓撲不變量，可能是數(shù)學領域中第二美麗的方程。我這么說不是因為我個人喜歡這個方程。事實上，許多科學家更傾向于將其視為一個整體。甚至《LiveScience》雜志的一篇文章在《最美的11個數(shù)學方程》中也提到了它。

頂點-邊面= 2，這就是我們所知道的多面體歐拉定理。讓我們來分析一下。

對于任何凸多面體，頂點數(shù)減去邊數(shù)加上面數(shù)總是等于2。在進一步分析之前，讓我們看看五個柏拉圖多面體。

柏拉圖多面體

在三維空間中，柏拉圖多面體是正的凸多面體。它是由相等的、規(guī)則的、多邊形的面構成的，在每個頂點上有相同數(shù)量的面。

一個四面體有四個面和四個角，由六條邊連接。對于一個四面體，V = 4，E = 6，F(xiàn) = 4。

V - E F = 4 - 6 4 = 2，因此，它滿足多面體歐拉定理。

我在下面列出了所有的柏拉圖多面體。

四面體：V = 4；E = 6；F = 4。

立方體：V = 8；E = 12；F = 6。

八面體V = 6；E = 12；F = 8。

十二面體：V = 20；E = 30；F = 12。

二十面體：V = 12；E = 30；F = 20。

五個正多面體。

那是公元前360年一個溫暖的夏夜，柏拉圖正坐在沙發(fā)上，想著將四種經典元素（土、氣、水、火）中的每一種都與柏拉圖多面體聯(lián)系起來。土和立方體聯(lián)系在一起；氣具有八面體，因為它的微小成分是如此光滑，以至于人們幾乎感覺不到；水與二十面體聯(lián)系在一起，因為它從一個人的手上流淌過；火與四面體聯(lián)系在一起，因為火的溫度讓人感覺尖銳刺痛。當然，我并不能理解他的這些解釋。

開普勒的宇宙奧秘中元素的任務。

快進到16世紀，德國天文學家約翰尼斯?開普勒（Johannes Kepler）將太陽系的六顆行星（當時除了地球以外，只有五顆行星被發(fā)現(xiàn)）與這五個柏拉圖多面體相聯(lián)系（至少是試圖建立聯(lián)系）。

1596年，開普勒提出了一個太陽系的模型，在這個模型中，五個固體是相互嵌在一起的，由一系列內切和外切的球體隔開。

開普勒認為行星間距離的關系可以用代表土星軌道的球體內的五個柏拉圖多面體來理解，這是一個很酷的想法。

開普勒的柏拉圖多面體太陽系模型。

這六個球體分別對應著水星、金星、地球、火星、木星和土星。最里面是一個八面體，接著是一個二十面體，十二面體，四面體，最后是立方體。

當然，開普勒離現(xiàn)實很遠，但我們不要忘記這五個柏拉圖多面體是多么重要。回到數(shù)學，回到歐拉。

多面體歐拉定理甚至適用于一個球體。如果你考慮所有的經緯線，計算整個地球的頂點、面和邊并使用多面體歐拉定理公式，你會得到2！

現(xiàn)在，看看這個四面體如何產生球體的細分，其中四面體的頂點、邊和面對應于細分的頂點、邊和面，細分有4個頂點、6條邊和4個面。多面體歐拉定理適用于四面體。

同樣，立方體產生了球體的8個頂點、12條邊和6個面的細分。同樣的事情也發(fā)生在其他的柏拉圖多面體上。

基本上，曲面S到曲面S 上的任意同胚將S的一個細分映射到S 的一個細分上，將S的頂點映射到S 的頂點，S的邊映射到S 的邊，S的面映射到S 的面，以一對一的方式。