那是公元前360年一個(gè)溫暖的夏夜，柏拉圖正坐在沙發(fā)上，想著將四種經(jīng)典元素（土、氣、水、火）中的每一種都與柏拉圖多面體聯(lián)系起來。土和立方體聯(lián)系在一起；氣具有八面體，因?yàn)樗奈⑿〕煞质侨绱斯饣灾劣谌藗儙缀醺杏X不到；水與二十面體聯(lián)系在一起，因?yàn)樗鼜囊粋€(gè)人的手上流淌過；火與四面體聯(lián)系在一起，因?yàn)榛鸬臏囟茸屓烁杏X尖銳刺痛。當(dāng)然，我并不能理解他的這些解釋。

快進(jìn)到16世紀(jì)，德國天文學(xué)家約翰尼斯?開普勒（Johannes Kepler）將太陽系的六顆行星（當(dāng)時(shí)除了地球以外，只有五顆行星被發(fā)現(xiàn)）與這五個(gè)柏拉圖多面體相聯(lián)系（至少是試圖建立聯(lián)系）。

1596年，開普勒提出了一個(gè)太陽系的模型，在這個(gè)模型中，五個(gè)固體是相互嵌在一起的，由一系列內(nèi)切和外切的球體隔開。

開普勒認(rèn)為行星間距離的關(guān)系可以用代表土星軌道的球體內(nèi)的五個(gè)柏拉圖多面體來理解，這是一個(gè)很酷的想法。

這六個(gè)球體分別對(duì)應(yīng)著水星、金星、地球、火星、木星和土星。最里面是一個(gè)八面體，接著是一個(gè)二十面體，十二面體，四面體，最后是立方體。

當(dāng)然，開普勒離現(xiàn)實(shí)很遠(yuǎn)，但我們不要忘記這五個(gè)柏拉圖多面體是多么重要。回到數(shù)學(xué)，回到歐拉。

多面體歐拉定理甚至適用于一個(gè)球體。如果你考慮所有的經(jīng)緯線，計(jì)算整個(gè)地球的頂點(diǎn)、面和邊并使用多面體歐拉定理公式，你會(huì)得到2！

現(xiàn)在，看看這個(gè)四面體如何產(chǎn)生球體的細(xì)分，其中四面體的頂點(diǎn)、邊和面對(duì)應(yīng)于細(xì)分的頂點(diǎn)、邊和面，細(xì)分有4個(gè)頂點(diǎn)、6條邊和4個(gè)面。多面體歐拉定理適用于四面體。

同樣，立方體產(chǎn)生了球體的8個(gè)頂點(diǎn)、12條邊和6個(gè)面的細(xì)分。同樣的事情也發(fā)生在其他的柏拉圖多面體上。

基本上，曲面S到曲面S 上的任意同胚將S的一個(gè)細(xì)分映射到S 的一個(gè)細(xì)分上，將S的頂點(diǎn)映射到S 的頂點(diǎn)，S的邊映射到S 的邊，S的面映射到S 的面，以一對(duì)一的方式。

在拓?fù)鋵W(xué)中，同胚是兩個(gè)拓?fù)淇臻g之間的雙連續(xù)函數(shù)。同胚是拓?fù)淇臻g范疇中的同構(gòu)。

我們可以得出結(jié)論，細(xì)分的歐拉示性數(shù)在同態(tài)下是保持不變的，因?yàn)樗裱璙?E F的值保持不變。因此，我們也可以說曲面的歐拉示性數(shù)是拓?fù)洳蛔兊摹?/p>對(duì)于二維

歐拉示性數(shù)也適用于二維幾何。

畫一條線。它有2個(gè)頂點(diǎn)，1條邊和0個(gè)面。所以V - E F = 1。

假設(shè)這兩個(gè)頂點(diǎn)是A和B，在平面上的任何地方放一個(gè)頂點(diǎn)C（不是在邊AB上）。畫邊BC。現(xiàn)在，我們有3個(gè)頂點(diǎn)，2條邊，0個(gè)面。同樣，V - E F = 1。現(xiàn)在，用一條邊連接C和A。現(xiàn)在我們有3個(gè)頂點(diǎn)，3條邊和1個(gè)面，V -E F = 1。

歐拉示性數(shù)在所有這些情況下都存在。現(xiàn)在，如果我們假設(shè)整張紙是一個(gè)面，除了剛才得到的三角形，我們得到V - E F = 2。

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