出品：科普中國

制作：中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院 黃逸文

監(jiān)制：中國科學院計算機網絡信息中心

一、圓周率π級數(shù)表達公式

自古以來，人們就癡迷于如何計算圓的周長。以拉丁字母π標記的圓周率，其定義就是一個圓的周長相對于其直徑的比。盡管圓是如此地簡單和完美，在生活中更是有舉足輕重的應用，但是眾多先賢對計算π的精確值卻一籌莫展。

早在古希臘時期，主流的畢達哥拉斯學派就認為世界上所有的數(shù)都是有理數(shù)。具有諷刺意義的是，無理數(shù)正是畢達哥拉斯的弟子所發(fā)現(xiàn)，因為和主流思想相悖，最終被其學派迫害身亡。然而對是有理數(shù)還是無理數(shù)的爭論，以及如何簡單便捷地計算出的具體值卻困擾了人們1000多年。

這個公式是由瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)。該公式由5個數(shù)學上最簡單的符號組成，它通過3種基礎運算，即加法、乘法和冪運算就將1、0、、i和e這五個數(shù)學中最重要的數(shù)字聯(lián)系在了一起，堪稱天才的完美之作。

它是數(shù)學與世界之間兼具理性色彩與深邃之美的巔峰之筆。它是純粹的數(shù)學之美，淋漓盡致地展現(xiàn)出數(shù)學作為跨文化、跨種族的通用語言的簡單與和諧，讓人們得以一窺數(shù)學穿越宇宙時空通行無礙的完美特性。

三、傅里葉級數(shù)

特別的，對以【-π，π】為周期的可微分函數(shù)f(x)有如下的無窮級數(shù)表達式：

1807年，法國數(shù)學家傅里葉發(fā)現(xiàn)任何可微分的函數(shù)都可以用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的加和表示出來，不論原始函數(shù)的圖形多么詭異，這種表示都可以達到任意需要的精度。

透過傅里葉發(fā)明的數(shù)學工具，數(shù)學分析領域進入了全新的時代。從數(shù)學的角度來看，傅里葉的定理告訴我們，任何曲線不論其本質如何，都可以用數(shù)不盡的簡單曲線加以取代，或者說，所有曲線都可以用堆疊波紋的方式加以呈現(xiàn)。這提供了人們認識事物的極為強有力的工具。

時至今日，世界上很多領域都受益于傅里葉級數(shù)的應用。從震蕩分析到影像處理，從激動人心的音樂創(chuàng)作到信息時代大放異彩的通訊技術，到處都有傅里葉級數(shù)的蹤跡。甚至人們可以通過遙遠星空所發(fā)出的光就能分析所在星球的化學成分，歷史上人們就是通過光的頻譜分析才逐步認識到太陽發(fā)光發(fā)熱的秘密等等。這一切，都是傅里葉級數(shù)的應用帶給世界文明的饋贈。

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